Question

∫(上限x下限-1)tf(t)dt的导数

Answer 1

问：∫(上限x下限-1)tf(t)dt的导数

答：亲亲，您好。很高兴为您解答：根据牛顿-莱布尼茨公式，对于积分$\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt$，其导数为$f(b(x))\cdot b'(x)-f(a(x))\cdot a'(x)$。因此，对于该题目：$$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \int_{a(x)}^{b(x)} t f(t) dt &= f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) \\ &= bf(b)-af(a)-a \end{aligned}$$其中，$a$和$b$是积分的上下限，令$a = x-1, b = x$，代入上式，得到：$$\frac{d}{dx} \int_{x-1}^{x} t f(t) dt = xf(x) - (x-1)f(x-1)-x+1$$因此，$\int_{x-1}^{x} t f(t) dt$的导数为$xf(x) - (x-1)f(x-1)-x+1$。