求二阶偏导数的步骤
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**二阶偏导数步骤**：
1. 设有二元函数 $z = f(x, y)$，点 $(x_0, y_0)$ 是其定义域 $D$ 内一点。
2. 把 $y$ 固定在 $y_0$ 而让 $x$ 在 $x_0$ 有增量 $\Delta x$，相应地函数 $z = f(x, y)$ 有增量（称为对 $x$ 的偏增量）$\Delta z = f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$。
3. 如果 $\Delta z$ 与 $\Delta x$ 之比当 $\Delta x \to 0$ 时的极限存在，那么此极限值称为函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作 $f'_x(x_0, y_0)$ 或函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数。
4. 把 $y$ 固定在 $y_0$ 看成常数后，一元函数 $z = f(x, y_0)$ 在 $x_0$ 处的导数。
5. 同样把 $x$ 固定在 $x_0$，让 $y$ 有增量 $\Delta y$，如果极限存在那么此极限称为函数 $z = (x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处对 $y$ 的偏导数。记作 $f'_y(x_0, y_0)$。
咨询记录 · 回答于2024-01-07
求二阶偏导数的步骤
二阶偏导数步骤：
1. 设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点。
2. 把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数z=f(x,y)有增量（称为对x的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
3. 如果△z与△x之比当△x→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，记作f'x(x0,y0)或函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
4. 把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数。
5. 同样把x固定在x0，让y有增量△y，如果极限存在那么此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数。记作f'y(x0,y0)。
公式介绍：
1. ∂z/∂x = [√(x² + y²) - x·2x/2√(x² + y²)]/(x² + y²) = y²/[(x² + y²)^(3/2)]
2. ∂z/∂y = -x·2y/2√(x² + y²)^(3/2)] = -xy/[(x² + y²)^(3/2)]
3. ∂²z/∂x² = -(3/2)y²·2x/[(x² + y²)^(5/2)] = -3xy²/[(x² + y²)^(5/2)]
4. ∂²z/∂x∂y = [2y·[(x² + y²)^(3/2) - y²·(3/2)·[(x² + y²)^(1/2)2y]/[(x² + y²)³]
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