Question

F(x+yz,y+xz)=0,求z对x的偏导和z对y的偏导

Answer 1

问：F(x+yz,y+xz)=0,求z对x的偏导和z对y的偏导

答：要求函数F(x+yz,y+xz)对x和y的偏导数，我们可以使用偏导数的定义和链式法则进行计算。 首先，计算F对x的偏导数。对于F(x+yz,y+xz)=0，我们可以将此等式看作F(x,y,z) = 0，其中x+yz表示x的函数，y+xz表示y的函数，z是自变量。 根据链式法则，F对x的偏导数可以表示为： ∂F/∂x = (∂F/∂(x+yz)) * (∂(x+yz)/∂x) + (∂F/∂(y+xz)) * (∂(y+xz)/∂x) 第一项 (∂F/∂(x+yz)) * (∂(x+yz)/∂x) = (∂F/∂u) * 1，其中u为x+yz。因为∂(x+yz)/∂x = 1，所以 (∂(x+yz)/∂x) = 1。 第二项 (∂F/∂(y+xz)) * (∂(y+xz)/∂x) = (∂F/∂v) * (∂v/∂x)，其中v为y+xz。我们需要求出 (∂v/∂x)。根据 (∂v/∂x) = z，我们可以得到： ∂F/∂x = (∂F/∂u) * 1 + (∂F/∂v) * z 接下来，计算F对y的偏导数。根据链式法则，F对y的偏导数可以表示为： ∂F/∂y = (∂F/∂(x+yz)) * (∂(x+yz)/∂y) + (∂F/∂(y+xz)) * (∂(y+xz)/∂y) 类似地，我们可以求出 (∂(x+yz)/∂y)， (∂(y+xz)/∂y)，并将其代入上述偏导数公式计算。 综上所述，我们可以根据给定的函数表达式使用链式法则来计算z对x和z对y的偏导数。

问：后面过程也写一下

问：z对x和z对y求偏导

答：**我们需要先计算z对x和z对y的偏导数。** 对于z对x的偏导数，我们将F(x+yz, y+xz)等式看作F(u,v) = 0，其中u = x+yz，v = y+xz。根据链式法则，z对x的偏导数可以表示为： $\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial u}}{\frac{\partial F}{\partial v}}$ 接下来，对于z对y的偏导数，我们可以使用类似的方法。根据链式法则，z对y的偏导数可以表示为： $\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{\frac{\partial F}{\partial v}}{\frac{\partial F}{\partial u}}$ 因此，我们可以根据这些公式计算出所需的偏导数。

问：具体结果写一下

答：如果有一个具体的函数表达式 F(x+yz, y+xz)，我们可以根据这个表达式来计算偏导数。假设 F(x+yz, y+xz) = x^2 + y^2 + z^2。 首先，计算 F 对 x 的偏导数。根据前面的讨论和链式法则，我们有： "F/"x = ("F/"u) * ("u/"x) + ("F/"v) * ("v/"x) 其中，u = x+yz，v = y+xz。 将 F 的表达式代入，我们得到： "F/"x = ("(x^2 + y^2 + z^2)/"(x+yz)) * 1 + ("(x^2 + y^2 + z^2)/"(y+xz)) * z 化简后得到： "F/"x = 2x + z 类似地，计算 F 对 y 的偏导数： "F/"y = ("F/"u) * ("u/"y) + ("F/"v) * ("v/"y) 将 F 的表达式代入，我们得到： "F/"y = ("(x^2 + y^2 + z^2)/"(x+yz)) * z + ("(x^2 + y^2 + z^2)/"(y+xz)) * 1 化简后得到： "F/"y = 2y + z 因此，根据具体的函数表达式 F(x+yz, y+xz) = x^2 + y^2 + z^2，我们计算出了 F 对 x 和 F 对 y 的偏导数为 "F/"x = 2x + z 和 "F/"y = 2y + z。