Question

20 将二次积分_0^2((2y-y^2)(x^2+y^2)dx)dy 化为极坐标形式的二次积分,并计算

Answer 1

问：20 将二次积分_0^2((2y-y^2)(x^2+y^2)dx)dy 化为极坐标形式的二次积分,并计算

答：您好，亲，以下是根据您的提问，将二次积分_0^2((2y-y^2)(x^2+y^2)dx)dy 化为极坐标形式的二次积分,并计算，整理出来的答案：

答：首先将被积函数中的 x^2+y^2 替换为极坐标形式 r^2，得到：\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\cos^2\theta\,d\theta\,dy然后将 \cos^2\theta 用 \frac{1+\cos(2\theta)}{2} 表示, 积分 \theta 时可以将其抽取出来，得到：\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\left(1+\cos(2\theta)\right)\,d\theta\,dy接下来分别对 \theta 和 y 积分，得到：\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\,d\theta\right]\,dy+\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\cos(2\theta)\,d\theta\right]\,dy

答：第一个积分中，\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta 的结果为 0，因此第一个积分化为：\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\,d\theta\right]\,dy=\pi\int_{0}^{2}(2y-y^2)r^2\,dy=\pi\int_{0}^{2}(2r^2y-r^2y^2)\,dy=\frac{8\pi}{3}第二个积分中，\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta 的结果为 0，因此第二个积分化为：\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{2\pi}(2y-y^2)r^2\cos(2\theta)\,d\theta\right]\,dy=0因此原二次积分化为极坐标形式的结果为 \frac{8\pi}{3}。