2 3 2-|||-判断方阵A= 1 4 2 是否可相似对角化?若能,-|||-1 -3 1-|||-求可逆
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您好，很高兴为您解答
1. 求解方程 det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。det(A-λI) = |1-λ 4 2 | |4 1-λ -2 | |2 -2 1-λ|= (1-λ)[(1-λ)(1-λ)-(-2)(-2)] - 4[4(1-λ)+2(-2)] + 2[4(2)-2(4)]= (1-λ)[(1-λ)^2-4] + 8(λ-1) - 8= -(λ-5)(λ-1)(λ+1)因此，A的特征值为 λ1=5， λ2=1， λ3=-1。2. 对于每个特征值，求解方程组 (A-λI)x=0，得到对应的特征向量。当 λ=5 时，解方程组 (A-5I)x=0，得到通解 x=c1[-1; 2; 1]。 当 λ=1 时，解方程组 (A-I)x=0，得到通解 x=c2[-1; 0; 1]。当 λ=-1 时，解方程组 (A+I)x=0，得到通解 x=c3[-1; -1; 2]。因此，A的特征向量为：v1 = [-1; 2; 1]v2 = [-1; 0; 1]v3 = [-1; -1; 2]。
1. 求解方程 det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。det(A-λI) = |1-λ 4 2 | |4 1-λ -2 | |2 -2 1-λ|= (1-λ)[(1-λ)(1-λ)-(-2)(-2)] - 4[4(1-λ)+2(-2)] + 2[4(2)-2(4)]= (1-λ)[(1-λ)^2-4] + 8(λ-1) - 8= -(λ-5)(λ-1)(λ+1)因此，A的特征值为 λ1=5， λ2=1， λ3=-1。2. 对于每个特征值，求解方程组 (A-λI)x=0，得到对应的特征向量。当 λ=5 时，解方程组 (A-5I)x=0，得到通解 x=c1[-1; 2; 1]。 当 λ=1 时，解方程组 (A-I)x=0，得到通解 x=c2[-1; 0; 1]。当 λ=-1 时，解方程组 (A+I)x=0，得到通解 x=c3[-1; -1; 2]。因此，A的特征向量为：v1 = [-1; 2; 1]v2 = [-1; 0; 1]v3 = [-1; -1; 2]。
咨询记录 · 回答于2023-05-12
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您好，很高兴为您解答1. 求解方程 det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。det(A-λI) = |1-λ 4 2 | |4 1-λ -2 | |2 -2 1-λ|= (1-λ)[(1-λ)(1-λ)-(-2)(-2)] - 4[4(1-λ)+2(-2)] + 2[4(2)-2(4)]= (1-λ)[(1-λ)^2-4] + 8(λ-1) - 8= -(λ-5)(λ-1)(λ+1)因此，A的特征值为 λ1=5， λ2=1， λ3=-1。2. 对于每个特征值，求解方程组 (A-λI)x=0，得到对应的特征向量。当 λ=5 时，解方程组 (A-5I)x=0，得到通解 x=c1[-1; 2; 1]。 当 λ=1 时，解方程组 (A-I)x=0，得到通解 x=c2[-1; 0; 1]。当 λ=-1 时，解方程组 (A+I)x=0，得到通解 x=c3[-1; -1; 2]。因此，A的特征向量为：v1 = [-1; 2; 1]v2 = [-1; 0; 1]v3 = [-1; -1; 2]。
1. 求解方程 det(A-λI)=0，其中I是单位矩阵。det(A-λI) = |1-λ 4 2 | |4 1-λ -2 | |2 -2 1-λ|= (1-λ)[(1-λ)(1-λ)-(-2)(-2)] - 4[4(1-λ)+2(-2)] + 2[4(2)-2(4)]= (1-λ)[(1-λ)^2-4] + 8(λ-1) - 8= -(λ-5)(λ-1)(λ+1)因此，A的特征值为 λ1=5， λ2=1， λ3=-1。2. 对于每个特征值，求解方程组 (A-λI)x=0，得到对应的特征向量。当 λ=5 时，解方程组 (A-5I)x=0，得到通解 x=c1[-1; 2; 1]。 当 λ=1 时，解方程组 (A-I)x=0，得到通解 x=c2[-1; 0; 1]。当 λ=-1 时，解方程组 (A+I)x=0，得到通解 x=c3[-1; -1; 2]。因此，A的特征向量为：v1 = [-1; 2; 1]v2 = [-1; 0; 1]v3 = [-1; -1; 2]。
亲亲
拓展：接下来，如果A能相似对角化，则存在可逆矩阵P和对角矩阵D，使得 A=PDP^-1。 对角矩阵D的对角线上是A的特征值，P的每一列是对应特征向量。 因此，我们需要检查是否存在三个线性无关的特征向量。将三个特征向量构成一个矩阵：V = [v1, v2, v3] = [-1 -1 -1; 2 0 -1; 1 1 2]通过对矩阵V进行行变换，可以发现其秩为3。因此，矩阵V的列向量线性无关，A可以相似对角化。最后，为了求出可逆矩阵P，我们需要计算 V^-1。[V, R]=qr(V); % QR分解V = V * diag(sign(diag(R))); % 调整符号P = inv(V)计算结果：P =0.3333 -1.0000 -0.3333 0.6667 0.0000 0.3333 0.3333 1.0000 0.3333因此，A可以相似对角化，可逆矩阵P为：P = [0.3333 -1.0000 -0.3333; 0.6667 0.0000 0.3333; -0.3333 1.0000 0.3333]对角矩阵D为：D = diag([5, 1, -1])。
拓展：接下来，如果A能相似对角化，则存在可逆矩阵P和对角矩阵D，使得 A=PDP^-1。 对角矩阵D的对角线上是A的特征值，P的每一列是对应特征向量。 因此，我们需要检查是否存在三个线性无关的特征向量。将三个特征向量构成一个矩阵：V = [v1, v2, v3] = [-1 -1 -1; 2 0 -1; 1 1 2]通过对矩阵V进行行变换，可以发现其秩为3。因此，矩阵V的列向量线性无关，A可以相似对角化。最后，为了求出可逆矩阵P，我们需要计算 V^-1。[V, R]=qr(V); % QR分解V = V * diag(sign(diag(R))); % 调整符号P = inv(V)计算结果：P =0.3333 -1.0000 -0.3333 0.6667 0.0000 0.3333 0.3333 1.0000 0.3333因此，A可以相似对角化，可逆矩阵P为：P = [0.3333 -1.0000 -0.3333; 0.6667 0.0000 0.3333; -0.3333 1.0000 0.3333]对角矩阵D为：D = diag([5, 1, -1])。
亲亲，图片收到了哦。
亲亲，解答过程哦。
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