Question

1.(1)设向量组 1=(1,3,-1,2)^T,a2=(1,2,0,1)^T, a3=(2,7,-3,5)^T, 试判定向量

Answer 1

问：1.(1)设向量组 1=(1,3,-1,2)^T,a2=(1,2,0,1)^T, a3=(2,7,-3,5)^T, 试判定向量

答：### 关于(1,4,-1,3)^T是否能由向量组1，a2，a3线性表示的解答： 设向量(1,4,-1,3)^T能由向量组1，a2，a3线性表示，则存在实数$x_1$，$x_2$，$x_3$，使得： (1,4,-1,3)^T = $x_1 × (1,0,2,1)^T + x_2 × (0,1,7,4)^T + x_3 × (0,-1,-3,-1)^T$ 化简可得增广矩阵： $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 7 & 4 & 4 \\ -1 & 0 & -3 & -1 & -1 \\ 2 & 1 & 5 & 3 & 3 \end{pmatrix}$ 进行初等行变换后得到： $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ 由最简阶梯型矩阵可知，增广矩阵的秩为3，而向量组1，a2，a3是4维向量组，其秩最大为3，即向量组1，a2，a3的秩为3。因此，向量(1,4,-1,3)^T不能由向量组1，a2，a3线性表示。