Question

一道数学题：已知锐角三角形ABC中,sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5.设AB=3,求AB边上的高

要过程

Answer 1

sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB=3/5+1/5=4/5
所以sinAcosB=2/5
sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB=3/5-1/5=2/5
所以cosAsinB=1/5
（sinAcosB）/（cosAsinB）=（2/5）/（1/5）＝2
即tgActgB＝2
设AB边上的高为CD，D为垂足
则tgActgB＝(CD/AD)*(BD/CD)=BD/AD=2
因为AB=3
所以AD=1,BD=2
因为ABC是锐角三角形
所以0°<∠C<90°
所以90°<∠A+∠B<180°
cos(A+B)=-√[1-（3/5）^2]=-4/5
-90°<∠A-∠B<90°
所以cos(A-B)=√[1-（1/5）^2]=2√6/5
所以cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB＝-4/5+2√6/5
所以cosAcosB＝（√6-2）/5
（sinAcosB）/（cosAcosB）=（2/5）/[（√6-2）/5]＝√6+2
即tgA＝√6+2＝CD/AD=CD/1
所以CD＝√6+2
所以AB边上的高为√6+2

Answer 2

作DE垂直AB于E，设AC长度是4，那么AB＝4根号2
三角形ADE是等腰直角三角形，AD＝2，AE＝DE＝根号2
BE＝AB－AE＝3根号2
于是TAN角ABD＝DE/BE＝1/3
SIN角ABD＝3/根号10

Answer 3

sin(A+B)=3/5,sin(A-B)=1/5,两式展开就可以算出角A、B的度数，sin2A=4/5
再用边角公式就可以算出了！

Answer 4

sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB=3/5+1/5=4/5
所以sinAcosB=2/5
sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB=3/5-1/5=2/5
所以cosAsinB=1/5
（sinAcosB）/（cosAsinB）=（2/5）/（1/5）＝2
即tgActgB＝2
设AB边上的高为CD，D为垂足
则tgActgB＝(CD/AD)*(BD/CD)=BD/AD=2
因为AB=3
所以AD=1,BD=2
因为ABC是锐角三角形
所以0°<∠C<90°
所以90°<∠A+∠B<180°
cos(A+B)=-√[1-（3/5）^2]=-4/5
-90°<∠A-∠B<90°
所以cos(A-B)=√[1-（1/5）^2]=2√6/5
所以cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB＝-4/5+2√6/5
所以cosAcosB＝（√6-2）/5
（sinAcosB）/（cosAcosB）=（2/5）/[（√6-2）/5]＝√6+2
即tgA＝√6+2＝CD/AD=CD/1
所以CD＝√6+2
所以AB边上的高为√6+2

Answer 5

sin(A+B)+sin(A-B)=2sinAcosB=3/5+1/5=4/5
所以sinAcosB=2/5
sin(A+B)-sin(A-B)=2cosAsinB=3/5-1/5=2/5
所以cosAsinB=1/5
（sinAcosB）/（cosAsinB）=（2/5）/（1/5）＝2
即tgActgB＝2
设AB边上的高为CD，D为垂足
则tgActgB＝(CD/AD)*(BD/CD)=BD/AD=2
因为AB=3
所以AD=1,BD=2
因为ABC是锐角三角形
所以0°<∠C<90°
所以90°<∠A+∠B<180°
cos(A+B)=-√[1-（3/5）^2]=-4/5
-90°<∠A-∠B<90°
所以cos(A-B)=√[1-（1/5）^2]=2√6/5
所以cos(A+B)+cos(A-B)=2cosAcosB＝-4/5+2√6/5
所以cosAcosB＝（√6-2）/5
（sinAcosB）/（cosAcosB）=（2/5）/[（√6-2）/5]＝√6+2
即tgA＝√6+2＝CD/AD=CD/1
所以CD＝√6+2
所以AB边上的高为√6+2