Question

在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆 + =1与圆C的一

在直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2 的圆C与直线y=x相切于坐标原点O,椭圆 + =1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆C的方程.(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长,若存在,请求出Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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Answer 1

（1）(x+2) 2 +(y-2) 2 =8.   （2）存在，Q

(1)设圆C的圆心为A(p,q), 则圆C的方程为(x-p) 2 +(y-q) 2 =8. 因为直线y=x与圆C相切于坐标原点O, 所以O在圆C上,且直线OA垂直于直线y=x. 于是有 ? 或 由于点A(p,q)在第二象限,故p<0. 所以圆C的方程为(x+2) 2 +(y-2) 2 =8. (2)因为椭圆 + =1与圆C的一个交点到椭圆两焦点距离之和为10,所以2a=10?a=5,故椭圆右焦点为F(4,0). 若圆C上存在异于原点的点Q(x 0 ,y 0 )到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长,则有|QF|=|OF|,于是(x 0 -4) 2 + =4 2 ,且 + ≠0.① 由于Q(x 0 ,y 0 )在圆上,故有(x 0 +2) 2 +(y 0 -2) 2 =8.② 解①和②得 故圆C上存在满足条件的点Q .