Question

X1=2，Xn+1=根号1+xn证明limXn极值存在并求其值n趋于无穷

Answer 1

问：X1=2，Xn+1=根号1+xn证明limXn极值存在并求其值n趋于无穷

答：证明：先用数学归纳法证xn<2n=1时 X1=√2<2假设n=k时有Xk<2Xk+1=√(2+Xk)<√(2+2)<2再证单调性。(Xn+1)^2 -(Xn)^2=2+Xn -(Xn)^2 =(2-Xn)(1+Xn)>0所以 Xn+1 >Xn综上可知，xn单调递增且有上界，故极限存在设极限为a 因为n→∞时，lim Xn+1 =lim Xn =a对Xn+1=√(2+Xn) 两边求极限a=√(2+a) a=2 所以极限为2