Question

证明：数列2，2+1/2,2+1/(2+1/2),…收敛，并求其极限

Answer 1

问：证明：数列2，2+1/2,2+1/(2+1/2),…收敛，并求其极限

答：你好，很高兴为你服务，我是小离爱学习，百度知道资深解答家，累计服务3000人，能帮你很好的解答问题。这边打字需要时间，请您稍等一下哦~

答：首先用数学归纳法证明an>=1

答：1）当n=1时a1=1，满足

答：2）假设n=k时a(k)>0，则a(k+1)=1+a(k)/(1+a(k))>0

答：所以命题成立，即对于任意n都有an>=1

问：这样不能体现收敛也求不出极限啊

答：假设极限为A，根据a(n+1)=1+an/(1+an)得到：A=1+A/(1+A) （因为A=lim a(n+1)=lim a(n)）即A^2-A-1=0，又因为1<=A<2，解得：A=(1+√5)/2，所以极限为(1+√5)/2

问：你搞错了，表达式是a(n+1）＝2+1/an，所以求出极限是1+√2

答：抱歉抱歉，但是具体步骤就是按照我给您的这个哦

问：收敛性怎么证呢

答：您需要怎么数列是单调递增的，然后具有上界，那么他就是收敛的

答：证明

问：但是这个数列不是单调递增的，你看看噢，它是一项增一项减这么过来的

答：有一个构造方法:把一个单调有界(只要收敛即可)数列的奇子列变成你要的摆动数列，偶子列不变，那么这个偶子列便是该摆动数列的收敛子序列

答：所以您要把他变成奇偶两项来证明单调性

问：好的，谢谢