设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明R(AB)≤min{R(A),R(B)}

1个回答

生活达人

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要您好，很高兴为您解答。因为AB可以看成是A的列向量的线性组合所成向量组，当然有r(AB)<=r(A)。

这样r(AB)=r(AB)^T=r(B^T A^T)<=r(B^T)=r(B)。得证。

或者考虑方程组ABX=0与BX=0，显然BX=0的解都是ABX=0的解，故n-r(B)<=n-r(AB)，即r(AB)<=r(B)。以下可以同上方法

还可以通过分块矩阵的初等变换，直接计算。

首先你要明确一点，矩阵A的秩肯定小于等于行数与列数当中较小的那个，也就是说R（A）小于等于min（m，n）；且R（B）小于等于min（n，s）。且AB=mxs，即R（AB）小于等于min（m，s），那么你仔细想一下们是不是肯定有R（AB）小于等于

min（R（A），R（B））。

因为AB=0，所向量都是AX=0的解（1）若秩(A)=n（即列满秩），则AX=0只有零解，所以秩(B)=0，满足条件；（2）若秩(A)

以上就是我对问题的解答，希望对您有帮助！麻烦动动您的小手帮我5星赞一下。祝您生活愉快，谢谢您！

咨询记录 · 回答于2021-12-09

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，证明R(AB)≤min{R(A),R(B)}

您好，您的问题我已经看到了，正在整理答案，请稍等一会儿哦~

您好，很高兴为您解答。因为AB可以看成是A的列向量的线性组合所成向量组，当然有r(AB)<=r(A)。这样r(AB)=r(AB)^T=r(B^T A^T)<=r(B^T)=r(B)。得证。或者考虑方程组ABX=0与BX=0，显然BX=0的解都是ABX=0的解，故n-r(B)<=n-r(AB)，即r(AB)<=r(B)。以下可以同上方法还可以通过分块矩阵的初等变换，直接计算。首先你要明确一点，矩阵A的秩肯定小于等于行数与列数当中较小的那个，也就是说R（A）小于等于min（m，n）；且R（B）小于等于min（n，s）。且AB=mxs，即R（AB）小于等于min（m，s），那么你仔细想一下们是不是肯定有R（AB）小于等于min（R（A），R（B））。因为AB=0，所向量都是AX=0的解（1）若秩(A)=n（即列满秩），则AX=0只有零解，所以秩(B)=0，满足条件；（2）若秩(A)