Question

表达柯西积分定理的逆命题并判断真伪

Answer 1

问：表达柯西积分定理的逆命题并判断真伪

答：柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem）是复数分析中一个重要的定理，它指出：若 $f(z)$ 是在某个域 $\Omega$ 内连续的函数，$\Gamma$ 是 $\Omega$ 内的一条封闭的曲线，则对于任意的 $z_0 \in \Omega$，有：$$\oint_{\Gamma} f(z) dz = 0$$其中 $\oint_{\Gamma}$ 表示 $\Gamma$ 上的积分。逆命题就是将原命题的否定结果作为命题的结论，即：若 $f(z)$ 不是在某个域 $\Omega$ 内连续的函数，或 $\Gamma$ 不是 $\Omega$ 内的一条封闭的曲线，则对于任意的 $z_0 \in \Omega$，有：$$\oint_{\Gamma} f(z) dz \neq 0$$这个逆命题是真命题，因为原命题中的条件都是充分条件，所以当这些条件不成立时，原命题的结论也就不成立，即积分结果一定不为 $0$。