Question

正切的4次方乘sinx的不定积分

Answer 1

问：正切的4次方乘sinx的不定积分

答：原式=∫［（sinx）^5/（cosx）^4］dx＝－∫［（sinx）^4/（cosx）^4］d（cosx）＝－∫｛［1－（cosx）^2］^2/（cosx）^4｝d（cosx）＝－∫｛［1－2（cosx）^2＋（cosx）^4］/（cosx）^4｝d（cosx）＝－∫［1/（cosx）^4］d（cosx）－2∫［1/（cosx）^2］d（cosx）－∫d（cosx）＝（1/3）/（cosx）^3－2tanx－cosx＋C。

答：令t=cosx,则 1-t²=sin²x∫ (sinx)^5 / (cosx)^4 dx= - ∫ (sinx)^4 / (cosx)^4 dcosx= - ∫ (1-t²)² / t^4 dt= ∫ (- t^4 + 2t² -1) / t^4 dt= ∫ (- 1 + 2/t² -1/t^4)dt= - t - 2/t + 1/(3t^3) + C= - cosx - 2secx + (sec³x)/3 + C

答：令t=cosx,则 1-t²=sin²x原式＝∫ (sinx)^5 / (cosx)^4 dx= - ∫ (sinx)^4 / (cosx)^4 dcosx= - ∫ (1-t²)² / t^4 dt= ∫ (- t^4 + 2t² -1) / t^4 dt= ∫ (- 1 + 2/t² -1/t^4)dt= - t - 2/t + 1/(3t^3) + C= - cosx - 2secx + (sec³x)/3 + C