Question

12.讨论级数(-1)"sin是绝对收敛,还是条件收敛或发散

Answer 1

问：12.讨论级数(-1)"sin是绝对收敛,还是条件收敛或发散

问：第12

答：您好亲，图片看不清楚哦，麻烦您用文字表述题目呢

答：您好！讨论级数(-1)"sin是绝对收敛、还是条件收敛或发散。该级数表达式为∑(-1)^n*sin(n)，其中n为自然数哦。这个级数是条件收敛的。我们可以通过 Dirichlet 测试来说明这一点。具体而言，我们需要证明级数中的正弦部分是有界的，而系数(-1)^n 是单调趋于零的。对于正弦部分，我们注意到，对于每个正整数 n，有 sin(n) <= 1，所以我们可以将其加上一个因子 1/n，使其变为有界的：|sin(n)|/n n.而对于(-1)^n这个系数，显然是单调趋于0的，所以我们只需要证明 ∑1/n 收敛即可。这可以通过 p-级数测试来说明，因为当 p>1 时，∑1/n^p 是收敛的，而我们这里取 p=2，依据比较判别法，我们知道∑1/n^2 是一个有限值，所以条件收敛。所以，这个级数是条件收敛的。这也可以通过直接计算其部分和来得到一些直观的感觉。比如，在第2n个项时有正负抵消，所以∑(-1)^n*sin(n) 的部分和在这些位置附近会趋于零。但是，这个级数不满足绝对收敛的条件，也就是说，如果我们将其正负号去掉，得到的级数∑|sin(n)|就是发散的，因为其部分和会跑到无穷大。