Question

若线性相位FIR滤波器的一个零点为-根号2j,试确定该FIR滤波器冲激响应函数的最小长度N并解释原因

Answer 1

问：若线性相位FIR滤波器的一个零点为-根号2j,试确定该FIR滤波器冲激响应函数的最小长度N并解释原因

答：线性相位FIR滤波器的零点对称于实轴,且零点对称位置决定了滤波器的阶数。一个零点为-根号2j,则它的共轭零点为根号2j。因此这个FIR滤波器至少需要2个阶才能产生这两个对称的零点。根据FIR滤波器的设计公式:N=M+1,其中M为滤波器的阶数。所以这个FIR滤波器的最小长度N=2+1=3。要产生一个对称零点对,FIR滤波器至少需要2个阶。因此这个滤波器的最小长度是3。长度小于3时无法产生一个对称的-根号2j和根号2j的零点对。所以这个FIR滤波器的最小长度是3,原因是需要足够的阶数来产生给定的一个对称零点对。

问：线性相位FIR滤波器的复数零点不是互为倒数的共轭对吗，那不是应该有四个零点吗

问：那阶数N不应该是5吗

答：你说得对,线性相位FIR滤波器的零点成对出现,且是互为共轭的。但是对于实系数FIR滤波器,由于系数的对称性,零点必然是成对的实数或成对的共轭复数。对于互为共轭的复数零点对,只需要给出其中一个零点,另一个零点作为其共轭即可确定。所以对于实系数FIR滤波器,只需要给出两个零点,其余两个零点作为第一二个零点的共轭即可确定。所以线性相位FIR滤波器的复数零点通常我们只给出两个,这两个复数零点及它们的共轭构成四个零点。举例来说,如果有一个FIR滤波器的传递函数为:H(z) = (1 - 1.5z^-1 + 0.75z^-2)则它的零点为: z = 1 和 z = 0.5,且共轭零点为 z = 1和 z = 0.5。 这四个零点构成了滤波器的全部零点。所以,线性相位FIR滤波器的零点通常我们只给出两个,这两个零点及它们的共轭共同构成四个零点。