lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2
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根据题意,需要计算以下极限:
lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2
在极限计算前,可以尝试将式子进行简化。
注意到分母中的(x-y)^2可以写成(x-y)(x-y),然后将其展开,有:
(x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2
因此,原式可以改写为:
lim(x,y)→(0,0)+[xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)]
接下来考虑利用夹逼准则(或者称为夹逼定理)来计算该极限。
首先,显然有:
-1 ≤ cosθ ≤ 1
因此,-|y| ≤ y sinθ ≤ |y|
-|y| ≤ y cosθ ≤ |y|
咨询记录 · 回答于2024-01-18
lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2
根据题意,需要计算以下极限:
lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2
在极限计算前,可则棚以尝试将式子进行简化。
注意到凳中分母中的(x-y)^2可以写成(x-y)(x-y),
然后将其展开,有:(x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2
因此,原式可以改写为:
lim(x,y)→枣盯山(0,0)+[xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)]
接下来考虑利用夹逼准则(或者称为夹逼定理)来计算该极限。
首先,显然有:-1 ≤ cosθ ≤ 1
因此,-|y| ≤ y sinθ ≤ |y|
-|y| ≤ y cosθ ≤ |y|
于是:
- |y|^3 ≤ xy^2 sinθ ≤ |y|^3
- |y|^3 ≤ x^2y cosθ ≤ |y|^3
将以上两个不等式相加,并取绝对值:
|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ |xy^2sinθ / (x^2y cosθ + y^3)| ≤ |y| / |x - y|
当(x,y)→(0,0)时,有|x-y|→0,因此可以升培胡得到:
lim(x,y)→(0,0)+|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim(x,y)→(0,0)+|y| / |x - y|
根据吵拦极限中好的定义,可以得到:
lim(x,y)→(0,0)+|y| / |x - y| = 0
因此,原式的极限也为0。
lim(x,y)→(0,0)(xy^2)/(x-y)^2=
根据极限雹凯的定义,需要计算以下极限:
lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2
可以先将分母进行展开,得到:
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
然后将式子带入原式,有:
lim(x,y)→(0,0)+[xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)]
接下来考虑利用夹逼准则(或者称为夹逼定理)来计算该极限。
首先,盯肆悉显然有:-1 ≤ cosθ ≤ 1
因凯乎此,-|y| ≤ y sinθ ≤ |y|
-|y| ≤ y cosθ ≤ |y|
于是:-|y|^3 ≤ xy^2 sinθ ≤ |y|^3
-|y|^3 ≤ x^2y cosθ ≤ |y|^3
将以上两个不等式相加,并取绝对值:
|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ |xy^2sinθ / (x^2y cosθ + y^3)|≤ |y| / |x - y|
当(x,y)→(0,0)时,有|x-y|→0,因此可以得到:
lim(x,y)→(0,0)+|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim(x,y)→(0,0)+|y|
当 (x, y) → (0, 0) 时,有 |x - y| → 0,铅此
因此可以得到:
lim (x, y) → (0, 0)+ |xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim (x, y) → (0, 0)+ |y| / |x - y|
根据极限的定义,可以码穗得到槐模迅:
lim (x, y) → (0, 0)+ |y| / |x - y| = 0
因此,原式的极限也为 0。
f(x,y)=[sin(xy)e^x]/(x+y)的连续点是
题目:已经给出了函数f(x,y),要求找到它的连续点。
我们可以通过分析函数的分母和分子,来确定其可能的间断点。
首先,观察到f(x,y)的分母为x+y,显告睁然当x+y=0时,函数f(x,y)是不存在的,因此它是一个可能的间断点。
接下来,观察到f(x,y)的分子为sin(xy)e^x,注意到它型判是两个连续函数的乘积,而正弦函数sin(xy)和指数函数e^x都是连袜租岁续函数,因此它们的乘积也是一个连续函数。
因此,可以得出结论:f(x,y)在x+y=0以外的区域都是连续的。
综上所述,f(x,y)的连续点是所有满足x+y≠0的点。
我们可以用数学公式来表示这个结果:f(x,y)在 x+y≠0 的区域内连续。
图片打不开,发文字过来
设z=y^(lnx),则zx(1,1)=? zxx(1,1)=? zxy(1,1)=? zy(1,1)=?
根据链式法则,可以悄卜得出:
$\frac{\partial z}{\partial x} = y \ln x$
$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} = \frac{y}{x} \ln y$
$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial z} = \frac{y}{x} \ln x$
$\frac{\partial^{3}z}{\partial x\partial y\partial z} = \frac{y}{x^{2}} (\ln y)^{2}$
将携羡 $x = 1, y = 1$ 代入上启隐穗述公式可得:
$\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}(1,1) = \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial z}(1,1) = \frac{\partial^{3}z}{\partial x\partial y\partial z}(1,1) = 1$
设u=z arctan(y/x),uxx(1,1,1)=
首先,需要求出 $z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial z}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial z}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^3}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial z}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial z^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial y \partial z^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y \partial z}$ 的值,
再代入公式 $u = \arctan(yx)$,森坦迟求出 $\frac{\partial u}{\partial x}(1,1,1)$。
根据复合函数求导法则,有:
$\begin{aligned}
\frac{\partial z}{\partial x} &= 1 + (yx)^2 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= -2y^2x^4 [1 + (yx)^2]^3 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= x^2 + y^2 [1 + (yx)^2]^2 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} &= 1 + (yx)^2 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial z} &= 1 \\
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial z} &= 1 \\
\end{aligned}$其中,$\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示 $z$ 对 $x$ 的偏导数。
由信渗于 $u = \arctan(yx)$,因此可以得到此李:
$\begin{aligned}
\frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{z}{1 + (yx)^2} + yx \\
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} &= \frac{z_{xx}}{1 + (yx)^2} + 2y [1 + (yx)^2]^2 - 2zxy^2x^3(x^2 + y^2)
\end{aligned}$
其中,zxzx; 表示 zz 对 xx 的偏导数。由于 u=zarctan(yx)u=zarctan(xy;),因此可以得到:
ux=zxarctan(yx)+zyx2+y2uxx=zxxarctan告扮(yx)+2⋅zy(x2+y2)2−2zxy2x3(x2+y2)−zx2(y2/x2+1)
ux;uxx;;=zx;arctan(xy;)+x2+y2zy;=zxx;arctan(xy;)+2⋅(x2+y2)2zy;−x3(x2+y2)2zx;y2;−x2(y2/x2+1)
将 x=1,y=1x=1,y=1 和 z=1z=1 代入上述式子,可以得到:
zx=∂z∂x"#(1,1)=1/2zx;=∂x∂z;;(1,1);=1/2
;zxx=∂2z∂x2"#(1,1)=−5/8zxx;=∂x2∂神友液2z;;(1,1);=5/8
;zy=∂z∂y"#(1,1)=1/2zy;=∂y∂z;;(1,1);=1/2
;zxy=∂2z∂x∂y"#(1,1)=0zxy;=∂x∂y∂游物2z;;(1,1);=0。
代入 uxxuxx; 的公式,可得:
代入 $uxx(1,1,1)$ 的公唯并式,可团型得:
$uxx(1,1,1)=-58\arctan(1)+2\sqrt{14}-2\sqrt{1}\times\sqrt{121}\times(\sqrt{12}+\sqrt{1})=-1532-122$
$uxx(1,1,1)=-85\arctan(1)+2\sqrt{41}-(\sqrt{12}+\sqrt{1})^2\times\sqrt{1}-(\sqrt{12}/\sqrt{12}+1)=-3215-221$
因此,塌山猜
$uxx(1,1,1)=-1532-122$
$uxx(1,1,1)=-3215-221$