Question

lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2

Answer 1

问：lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2

答：根据题意，需要计算以下极限： lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2 在极限计算前，可以尝试将式子进行简化。 注意到分母中的(x-y)^2可以写成(x-y)(x-y)， 然后将其展开，有：(x-y)(x-y) = x^2 - 2xy + y^2 因此，原式可以改写为： lim(x,y)→(0,0)+[xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)] 接下来考虑利用夹逼准则（或者称为夹逼定理）来计算该极限。 首先，显然有：-1 ≤ cosθ ≤ 1 因此，-|y| ≤ y sinθ ≤ |y| -|y| ≤ y cosθ ≤ |y|

答：于是： - |y|^3 ≤ xy^2 sinθ ≤ |y|^3 - |y|^3 ≤ x^2y cosθ ≤ |y|^3 将以上两个不等式相加，并取绝对值： |xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ |xy^2sinθ / (x^2y cosθ + y^3)| ≤ |y| / |x - y| 当(x,y)→(0,0)时，有|x-y|→0，因此可以得到： lim(x,y)→(0,0)+|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim(x,y)→(0,0)+|y| / |x - y| 根据极限的定义，可以得到： lim(x,y)→(0,0)+|y| / |x - y| = 0 因此，原式的极限也为0。

问：lim(x,y)→(0,0)(xy^2)/(x-y)^2=

答：根据极限的定义，需要计算以下极限： lim(x,y)→(0,0)+(xy^2)/(x-y)^2 可以先将分母进行展开，得到： (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 然后将式子带入原式，有： lim(x,y)→(0,0)+[xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)] 接下来考虑利用夹逼准则（或者称为夹逼定理）来计算该极限。 首先，显然有：-1 ≤ cosθ ≤ 1 因此，-|y| ≤ y sinθ ≤ |y| -|y| ≤ y cosθ ≤ |y| 于是：-|y|^3 ≤ xy^2 sinθ ≤ |y|^3 -|y|^3 ≤ x^2y cosθ ≤ |y|^3 将以上两个不等式相加，并取绝对值： |xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ |xy^2sinθ / (x^2y cosθ + y^3)|≤ |y| / |x - y| 当(x,y)→(0,0)时，有|x-y|→0，因此可以得到： lim(x,y)→(0,0)+|xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim(x,y)→(0,0)+|y|

答：当 (x, y) → (0, 0) 时，有 |x - y| → 0， 因此可以得到： lim (x, y) → (0, 0)+ |xy^2 / (x^2 - 2xy + y^2)| ≤ lim (x, y) → (0, 0)+ |y| / |x - y| 根据极限的定义，可以得到： lim (x, y) → (0, 0)+ |y| / |x - y| = 0 因此，原式的极限也为 0。

问：f(x，y)=[sin(xy)e^x]/(x+y)的连续点是

答：题目：已经给出了函数f(x,y)，要求找到它的连续点。 我们可以通过分析函数的分母和分子，来确定其可能的间断点。 首先，观察到f(x,y)的分母为x+y，显然当x+y=0时，函数f(x,y)是不存在的，因此它是一个可能的间断点。 接下来，观察到f(x,y)的分子为sin(xy)e^x，注意到它是两个连续函数的乘积，而正弦函数sin(xy)和指数函数e^x都是连续函数，因此它们的乘积也是一个连续函数。 因此，可以得出结论：f(x,y)在x+y=0以外的区域都是连续的。 综上所述，f(x,y)的连续点是所有满足x+y≠0的点。 我们可以用数学公式来表示这个结果：f(x,y)在 x+y≠0 的区域内连续。

答：图片打不开，发文字过来

问：设z=y^(lnx)，则zx(1,1)=? zxx(1,1)=? zxy(1,1)=? zy(1,1)=?

答：根据链式法则，可以得出： $\frac{\partial z}{\partial x} = y \ln x$ $\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y} = \frac{y}{x} \ln y$ $\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial z} = \frac{y}{x} \ln x$ $\frac{\partial^{3}z}{\partial x\partial y\partial z} = \frac{y}{x^{2}} (\ln y)^{2}$ 将 $x = 1, y = 1$ 代入上述公式可得： $\frac{\partial z}{\partial x}(1,1) = \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}(1,1) = \frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial z}(1,1) = \frac{\partial^{3}z}{\partial x\partial y\partial z}(1,1) = 1$

问：设u=z arctan(y/x)，uxx(1,1,1)=

答：首先，需要求出 $z, \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial z}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial z}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^3}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial y}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial x^2 \partial z}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial z^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial y \partial z^2}, \frac{\partial^3 z}{\partial x \partial y \partial z}$ 的值， 再代入公式 $u = \arctan(yx)$，求出 $\frac{\partial u}{\partial x}(1,1,1)$。 根据复合函数求导法则，有： $\begin{aligned} \frac{\partial z}{\partial x} &= 1 + (yx)^2 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= -2y^2x^4 [1 + (yx)^2]^3 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} &= x^2 + y^2 [1 + (yx)^2]^2 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} &= 1 + (yx)^2 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial z} &= 1 \\ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial z} &= 1 \\ \end{aligned}$其中，$\frac{\partial z}{\partial x}$ 表示 $z$ 对 $x$ 的偏导数。 由于 $u = \arctan(yx)$，因此可以得到： $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} &= \frac{z}{1 + (yx)^2} + yx \\ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} &= \frac{z_{xx}}{1 + (yx)^2} + 2y [1 + (yx)^2]^2 - 2zxy^2x^3(x^2 + y^2) \end{aligned}$

答：其中，zxzx; 表示 zz 对 xx 的偏导数。由于 u=zarctan⁡(yx)u=zarctan(xy;)，因此可以得到： ux=zxarctan⁡(yx)+zyx2+y2uxx=zxxarctan⁡(yx)+2⋅zy(x2+y2)2−2zxy2x3(x2+y2)−zx2(y2/x2+1) ux;uxx;;=zx;arctan(xy;)+x2+y2zy;=zxx;arctan(xy;)+2⋅(x2+y2)2zy;−x3(x2+y2)2zx;y2;−x2(y2/x2+1) 将 x=1,y=1x=1,y=1 和 z=1z=1 代入上述式子，可以得到： zx=∂z∂x"#(1,1)=1/2zx;=∂x∂z;;(1,1);=1/2 ；zxx=∂2z∂x2"#(1,1)=−5/8zxx;=∂x2∂2z;;(1,1);=5/8 ；zy=∂z∂y"#(1,1)=1/2zy;=∂y∂z;;(1,1);=1/2 ；zxy=∂2z∂x∂y"#(1,1)=0zxy;=∂x∂y∂2z;;(1,1);=0。 代入 uxxuxx; 的公式，可得：

答：代入 $uxx(1,1,1)$ 的公式，可得： $uxx(1,1,1)=-58\arctan(1)+2\sqrt{14}-2\sqrt{1}\times\sqrt{121}\times(\sqrt{12}+\sqrt{1})=-1532-122$ $uxx(1,1,1)=-85\arctan(1)+2\sqrt{41}-(\sqrt{12}+\sqrt{1})^2\times\sqrt{1}-(\sqrt{12}/\sqrt{12}+1)=-3215-221$ 因此， $uxx(1,1,1)=-1532-122$ $uxx(1,1,1)=-3215-221$