Question

5 求 f(x,y)=e^x(x+y^2) 的极值.

Answer 1

问：5 求 f(x,y)=e^x(x+y^2) 的极值.

答：首先，我们需要求出该函数的偏导数：$\dfrac{\partial f}{\partial x}=e^x(x+y^2)+e^x$$\dfrac{\partial f}{\partial y}=2ye^x$然后，我们需要找到使偏导数为0的点，即：$\dfrac{\partial f}{\partial x}=0$ 和 $\dfrac{\partial f}{\partial y}=0$解出得：$x=-1$，$y=0$接下来，我们需要判断这个点是极大值、极小值还是鞍点。计算二阶偏导数：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^x(x+y^2)+2e^x$$\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2e^x$$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=

答：2ye^x$代入得到：$\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x=-1,y=0)=e^{-1}-2<0$因此，该点为极大值点。最终结果为：极大值点为：$(-1,0)$，极大值为$f(-1,0)=-1$

问：极大值应该是负的e的-1次方吧

答：对的，e的-1次方是一个小于1的正数，取负数后就是一个负数，是这个函数的极大值。