Question

(x+y)^3求导

Answer 1

问：(x+y)^3求导

问：怎么写呀

答：将由圆$x^2+(y-2)^2 =1$所围的平面图形绕轴$y=-2$旋转一周而成的几何体称为旋转体。为了计算旋转体的体积，我们可以使用定积分的方法。 设旋转体在$x$轴上的截面半径为$r(x)$，则根据勾股定理：$r(x) = \sqrt{1 - (x-2)^2}$ 旋转体在$x$轴上的截面面积为：$A(x) = \pi r(x)^2$ 代入$r(x)$的表达式得：$A(x) = \pi(1 - (x-2)^2)$ 旋转体的体积可以表示为以下定积分： $V = \int_{1}^{3} A(x) dx = \int_{1}^{3} \pi(1 - (x-2)^2) dx$ 进行换元，令$u = x - 2$，则： $V = \int_{-1}^{1} \pi(1 - u^2) du$ $V = \pi[u - \frac{1}{3}u^3]_{-1}^{1}$ $V = \pi[\frac{2}{3} - (-\frac{2}{3})]$ $V = \frac{4}{3}\pi$ 因此，由圆$x^2+(y-2)^2 =1$所围的平面图形绕轴$y=-2$旋转一周而成的几何体的体积为$\frac{4}{3}\pi$。