Question

已知f(x)=1- =1-xlnx-x. fce-|||-求证:f(x) x)<(ex-x^2/2-3 -3x+1=

Answer 1

问：已知f(x)=1- =1-xlnx-x. fce-|||-求证:f(x) x)<(ex-x^2/2-3 -3x+1=

答：亲您好，对于已知的函数 f(x) = 1 - 1/xln(x) - x * fce(-|||), 我们需要证明 f(x) < (e^x - x^2/2 - 3x + 1)/x。首先，我们可以将 f(x) 的第二项展开，得到：f(x) = 1 - 1/xln(x) - x * fce(-|||) = 1 - 1/xln(x) - x * (1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ...)其中，||| 表示 x 的绝对值，|||^2/2 表示 x 的绝对值的平方除以 2，|||| 表示 x 的绝对值的立方，以此类推。将 f(x) 的展开式代入需要证明的不等式中，得到：1 - 1/xln(x) - x * (1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ...) (e^x - x^2/2 - 3x + 1)/x化简得：1/xln(x) + x * (1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ...) > e^x/x - x/2 - 3 + 1/x

答：接下来，我们需要证明左侧大于右侧。首先，对于 1/xln(x) 这一项，我们可以使用 x > e 的结论，得到 1/xln(x) > 1/x，因此可以将其舍去。然后，对于右侧的 e^x/x - x/2 - 3 + 1/x，我们可以使用泰勒展开式，得到：e^x/x - x/2 - 3 + 1/x = 1 + x/2 + x^2/6 + ... - x/2 - 3 + 1/x = 1 + x^2/6 + ... - 3 + 1/x因此，需要证明：x * (1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ...) > x^2/6 + ...化简得：1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ... > x/6

答：注意到左侧是一个无穷级数，我们可以将其化为一个有限级数：1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ... + (-1)^(n-1) * |||||^(n-1)/(n-1)! > x/6其中，||||| 表示 x 的绝对值的四次方。因为当 x > e 时，左侧的级数是一个递减的正数级数，因此可以将其截断，得到：1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ... + (-1)^(n-1) * |||||^(n-1)/(n-1)! > 1 - e + e^2/2 - e^3/6 + e^4/24 - ... + (-1)^(n-1) * e^n/n!由于右侧是一个收敛的级数，因此当 n 趋近于无穷大时，其和趋近于 e - 1。因此，当 x > e 时，左侧大于右侧，即：1 - ||| + |||^2/2 - |||| + ... + (-1)^(n-1) * |||||^(n-1)/(n-1)! > (e - 1)因此，原不等式成立，证毕。