Question

正三棱锥高为4,底面边长为2求它的外接球表面积

Answer 1

问：正三棱锥高为4,底面边长为2求它的外接球表面积

答：设正三棱锥的顶点为A，底面为正三角形BCD。其中，BC=CD=BD=2，高为h=4。设外接球的半径为R，中心为O。 由勾股定理可知，三角形BCD的高为$\sqrt{3}$。又因为BC=CD=BD=2，所以三角形BCD是等边三角形，其面积为$S_{1}=\sqrt{3}$。 连接AO，BO，CO，得到四个高为h的四棱锥。这些四棱锥的顶点分别为A、B、C、D，底面为三角形BCD，所以它们的底面积为$S_{1}=\sqrt{3}$。 由于这些四棱锥共用一个顶点A，所以把它们拼接起来，得到的图形就是一个正四面体。因此，正三棱锥的外接球也就是正四面体的外接球，其半径为$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$，表面积为$S_{2}=4\pi R^{2}$。 综上所述，正三棱锥的外接球表面积为 $S = 4S_{1}+ S_{2} = 4\sqrt{3} + 6\pi$。

问：正六棱柱的高为2，底边长为1，求他的外借球表面积

答：正六棱柱有六个侧面，每个侧面是一个正六边形。 其中一个正六边形的面积为： $S_{1} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 1^{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ 由勾股定理可知，正六棱柱的高为$\sqrt{3}$，底面中心到棱柱顶点的距离为$R$，中心为$O$。 连接$O$和棱柱两个底面的中心，得到一个正三角形，其边长为$2R$，面积为： $S_{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times (2R)^{2} = 3\sqrt{3}R^{2}$ 根据勾股定理，正三角形的高为$\sqrt{3}$乘以边长的一半，也就是$\sqrt{3}R$，因此： $R^{2} = \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2} + 2^{2} = \frac{7}{3}$ 所以，外接球的半径为$R = \sqrt{\frac{7}{3}}$，表面积为： $S = 6S_{1} + S_{2} = 6 \times \frac{3\sqrt{3}}{2} + 3\sqrt{3}R^{2} = 9\sqrt{3} + \frac{14\pi}{3}$ 因此，正六棱柱的外接球表面积约为9.12。