为什么正交矩阵的特征值为1或-1
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咨询记录 · 回答于2023-12-29
为什么正交矩阵的特征值为1或-1
# 设λ是正交矩阵A的特征值,x是A的属于特征值λ的特征向量
即有 Ax = λx,且 x≠0。
两边取转置,得 x^TA^T = λx^T
所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx
因为A是正交矩阵,所以 A^TA=E
# 扩展资料
所以 x^Tx = λ^2x^Tx
由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数
故 λ^2=1
所以 λ=1或-1.
如果:AAT=E(E为单位矩阵,AT表示“矩阵A的转置矩阵”。)或ATA=E,则n阶实矩阵A称为正交矩阵,若A为正交阵,则满足以下条件:
1. AT的各行是单位向量且两两正交
2. AT的各列是单位向量且两两正交
3. (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R