Question

如何判断极大线性无关组

Answer 1

问：如何判断极大线性无关组

答：亲，判断矩阵中一组向量是否是极大线性无关组，可以通过以下步骤进行判断：1. 按照矩阵的列数确定向量组的最大长度n。2. 将向量组构成一个矩阵。3. 对向量组进行初等行变换，将矩阵转换为阶梯形矩阵或行最简矩阵。4. 判断向量组的秩r，如果r=n，则该向量组是极大线性无关组；如果r < n，则该向量组不是极大线性无关组。具体而言，如果向量组是极大线性无关组，则任何一个向量无法表示为其他向量的线性组合，即不存在非零的线性组合使得其等于另一个向量的线性组合，否则向量组就不是极大线性无关组。例如，对于一个3个向量的向量组（向量均为3维向量）：​ A1 = ( 1 , 0 , 0 )​ A2 = ( 0 , 1 , 0 )​ A3 = ( 0 , 0 , 1 )该向量组可以通过初等行变换转化为一个阶梯形矩阵：​ ( 1 0 0 )​ ( 0 1 0 )​ ( 0 0 1 )因为该向量组的秩r=n=3，所以该向量组是极大线性无关组。当然，如果向量组比较复杂或者不方便进行初等行变换，可以通过计算向量组的行列式，当且仅当行列式不等于0时，向量组是极大线性无关组。