Question

基础解系怎么求的

Answer 1

问：基础解系怎么求的

答：亲，您好，很高兴为您解答，基础解系求解过程如下：\[a_n(x)y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + \ldots + a_1(x)y'(x) + a_0(x)y(x) = 0\]其中 \(a_i(x)\) 是给定的函数，\(y(x)\) 是未知函数。要求解这个齐次线性微分方程的基础解系，一般的步骤如下：1. 首先，写出特征方程，通过将方程中的所有项移至一侧得到： \[a_n(x)r^n + a_{n-1}(x)r^{n-1} + \ldots + a_1(x)r + a_0(x) = 0\] 2. 解特征方程，找到所有的根 \(r_1, r_2, \ldots, r_k\)。这些根的个数等于微分方程的阶数 \(n\)。3. 对于每个根 \(r_i\)，构造相应的基础解 \(y_i(x)\)。这些基础解的形式通常是指数函数或幂函数。4. 如果存在重根，对应的基础解需要乘以 \(x^k\)，其中 \(k\) 是重根的重数。