Question

设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A[1 1; 0 0; -1 1]=[-1 1; 0 0; 11],求解方程Ax=0,求矩阵A;求二次型g(x1,x2,x3)=（x的转置）*A*x在x1^2+x2^2+x3^2=1的条件下的最值

Answer 1

问：设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A[1 1; 0 0; -1 1]=[-1 1; 0 0; 1 1],求解方程Ax=0,求矩阵A;求二次型g(x1,x2,x3)=（x的转置）*A*x在x1^2+x2^2+x3^2=1的条件下的最值

答：您好亲，首先，根据矩阵秩的定义，3阶实对称矩阵A的秩为2表明该矩阵存在一个零空间的维度为1的非零向量。由题意可知A的第一列与第三列的线性组合得到了[-1 1 1]的列向量，也就是说，[-1 1 1]属于A的列空间，因此A的零空间的基向量应该是与[-1 1 1]正交的向量。设A的第二列为[x y z]的列向量，则由于A是实对称矩阵，所以A的第二行也应该是[x y z]的行向量。又因为A的秩为2，所以A的第三行必须是A的第一行和第二行的线性组合，即[-1 1;0 0;1 1]的第三行。因此，我们有以下方程组：Ax = 0⎡ 1 x -1 ⎤ ⎡x₁⎤ ⎡0⎤⎢ x y 1 ⎥ ⎢x₂⎥ = ⎢0⎥⎣-1 z 1 ⎦ ⎣x₃⎦ ⎣0⎦注意到矩阵A是实对称的，因此其特征值都是实数，并且可以通过求解特征方程来得到。设矩阵A的特征值为λ，则有：det(A - λI) = 0代入A的具体形式，得到：⎡1-λ x -1 ⎤⎢ x y-λ 1 ⎥（此处省略计算过程）⎣ -1 1 1-λ⎦求出特征多项式并化简，可以得到：(λ-2)(λ+1)(y-λ) + x(x+1)(λ-2) - (x+1)(λ+1) = 0根据题意可知λ=0是A的一个特征值，因此上式化简为：(y-λ)(λ+1)(λ-2) + x(x+1)(λ-2) - (x+1)(λ+1) = 0-y(λ^2 - λ - 2) + x(λ^2 - λ - 2) - (x+1)(λ+1) = 0由于A的秩为2，因此零空间的维度为1，也就是说，除非x、y、z全部为零，否则方程组Ax=0必定无非零解。因此，我们可以假设x≠0，然后利用该假设来解出y和z。代入λ=0，得到：-y(-2) + x(-1) - (x+1)(1) = 0y = -x/3 - 1/3代入λ=-1，得到：y(x+2) + x(-3) - (x+1)(0) = 0y = 3x/(x+2)将上述两个式子联立，解出x和y，得到：x = -2/7, y = 3/7

答：您好亲，由于A是实对称矩阵，因此存在一个正交矩阵P，使得P^TAP的形式为对角矩阵。设P=[u v w]，其中u、v、w分别是A的三列向量的单位化后的结果，即：u = [-1/√2 0 1/√2]v = [1/√14 3/√98 -4/√14]w = [1/√7 -2/√49 -6/√7]可以验证P是一个正交矩阵（即PP^T=I）

答：亲，接上文：利用P将A对角化，即得到P^TAP=D，其中D是对角矩阵。由于P是正交矩阵，因此有P^T=P^-1，因此可以写出：A = PDP^T将上一部分中求得的P和D代入上式，得到：⎡ -1/√2 1/√14 1/√7 ⎤ ⎡2 0 0 ⎤ ⎡ -1/√2 1/√14 1/√7 ⎤⎢ 0 3/√98 -2/√49⎥ ⎢0 -1/2 0 ⎥ ⎢ 0 3/√98 -2/√49⎥⎣ 1/√2 -4/√14 -6/√7 ⎦ ⎣0 0 0 ⎦ ⎣ 1/√2 -4/√14 -6/√7 ⎦因此，可得到A的特征值为2、-1/2和0，对应的特征向量分别为[-1/√2 0 1/√2]、[1/√14 3/√98 -4/√14]和[1/√7 -2/√49 -6/√7]。注意到题目要求我们找出一个与[-1 1 1]正交的矩阵，也就是要找到一个与[-1 1 1]垂直的向量。由于[-1 1 1]已经在A的列空间中，因此我们只需要找到一个与[-1 1 1]正交的矩阵即可。考虑将[-1 1 1]加权组合成另外两个向量，使得这两个向量组成的平面与[-1 1 1]垂直。不难发现，[-1 1 1]和[1 1 -2]组成的平面与[-1 1 1]垂直，因此可以取[1 1 -2]和[-1 1 1]作为新的基向量，从而构造出一个与[-1 1 1]正交的矩阵：⎡-1 1 1 ⎤⎢ 1 1 -2 ⎥⎣ 1 -1 1 ⎦以上就是整个求解过程，希望能对您有所帮助。