Question

假设敌机位于地对空导弹发射基地正东100公里高空处，将在同一高度1万米上空，以340m/s的速率等速向正北方向100公里处的安全区直线逃审，其中，安全区内不会被击中。基地发射追踪导弹，随时自动瞄准敌机，以680m/s的速率等速追击，试问，是否可以探索出导弹的追踪轨迹，并计算导弹击中敌机的条件及所需时间？

Answer 1

问：假设敌机位于地对空导弹发射基地正东100公里高空处，将在同一高度1万米上空，以340m/s的速率等速向正北方向100公里处的安全区直线逃审，其中，安全区内不会被击中。基地发射追踪导弹，随时自动瞄准敌机，以680m/s的速率等速追击，试问，是否可以探索出导弹的追踪轨迹，并计算导弹击中敌机的条件及所需时间？

答：亲根据题目所给的信息，我们可以列出一个数学模型来解决这个问题：设敌机从基地正东100公里处开始运动，往正北方向逃离，其速度为340m/s。同时，基地发射导弹以680m/s的速度追击敌机，设导弹在时间t后与敌机相遇，且此时导弹飞行距离为d。由于导弹和敌机的相对速度是680m/s - 340m/s = 340m/s，因此导弹需要飞行的距离d等于敌机已经逃跑的距离。即：d = 100km + 340m/s * t同时，根据勾股定理，导弹和敌机之间的距离r随时间变化的关系可以表示为：r^2 = d^2 + h^2，其中h为导弹和敌机的高度差，此处为1万米。综上所述，我们可以得到一个二次方程：(100km + 340m/s * t)^2 + (1万米)^2 = r^2求解这个方程，就可以得到导弹与敌机相遇的时间t和飞行距离d，进而计算出导弹击中敌机的条件及所需时间。不过需要注意的是，这个数学模型并没有考虑到一些现实中可能存在的因素，比如风速、空气阻力等，因此结果只能作为一个理论参考。

问：可以用常微分方程来解答这一题吗

答：s = ut + 1/2 * a * t^2其中，s表示位移，u表示初始速度，t表示时间。由于导弹的初始速度为0，且在2.94分钟内需走完100公里，因此可以得出：100000 = 1/2 * a * (2.94 x 60)^2解得a约等于3.39 m/s^2。100000 - 1/2 * 3.39 * t^2 = 680 * t解得t约为262秒，即导弹需要约4.37分钟才能击中敌机。