Question

三重积分计算

Answer 1

问：三重积分计算

答：您好，亲亲，三重积分是对三维空间内的函数进行积分。其计算方法可以采用三次积分的形式，即先对一个变量进行积分，再对另一个变量积分，最后对第三个变量积分。

问：帮我计算这个题，写过程发给我

答：您好，亲亲，实在是不好意思，老师这边没有纸和笔，还请您以文字的形式进行问题描述，这样更好的帮您解答呢

答：因为咨询人数较多，加上老师这边没有纸和笔，确实很抱歉哈，建议您这边用文字形式发过来，这样更快更加准确的帮您解答呢。

问：求底圆半径相等的两个直交圆柱面x2+y2=R2,x2+z2=R2所围立体在第一卦限的面积( )

答：你好，所围立体在第一卦限的面积为1/4πR^3。

答：您好，亲亲，题目可知，所求立体是由两个底圆半径相等的直交圆柱面所围成的，因此可以先求出这两个圆柱面的交线，从而确定立体的形状。通过解方程x^2+y^2=R^2和x^2+z^2=R^2可知，交线的方程为x^2=R^2-y^2和z^2=R^2-x^2，将两个方程联立可得：x^2+y^2=2R^2-x^2-z^2=2R^2-2x^2化简可得：x^2+y^2=2R^2-2x^2即：3x^2+y^2=2R^2这是一个椭圆的方程，因此所求立体的形状为一个椭球体。求出该椭球体的体积，即可得到所围立体的体积。由于该椭球体在第一卦限内，因此其体积可以表示为：V=1/4πabc其中a、b、c分别为椭球体的三个半轴长，由于椭球体在x、y、z三个坐标轴上的半轴长分别为R、R和R/√2，因此可得：a=b=Rc=R/√2将其代入公式中，可得：V=1/4πR^3因此，所围立体的体积为1/4πR^3。

答：您好，亲亲，老师这边没有笔和纸，您真的太为难老师了，老师要哭啦，宝贝请将题以文字形式描述给老师，或者直接复制给老师也可以哈

问：已知2:{(xy,z)x^2 +y^2+z^2≤4,z>0},则三重积分∭[(x^2+y^2+z^2)dv=

答：您好，亲亲，根据题目给出的信息，我们可以知道积分区域为一个以z轴为对称轴的上半球体，半径为2。因为积分区域对称性好，我们可以将三重积分化为三个累次积分，其中第一个积分变量为z，第二个积分变量为r，第三个积分变量为θ。因此，原式可以表示为：∭[(x^2+y^2+z^2)dv = ∫[0,2π]∫[0,2]∫0,√(4-r^2) r dz dr dθ将被积函数展开，得到：∭[(x^2+y^2+z^2)dv = ∫[0,2π]∫[0,2]∫[0,√(4-r^2)] r^3 + r z^2 dz dr dθ对于第二个积分，我们可以通过代入z = u r（u为0到1的常数）并利用对称性来化简。因此，原式可以表示为：∭[(x^2+y^2+z^2)dv = 2∫[0,2π]∫[0,2]∫[0,√(4-r^2)] r^3 + r u^2 r^2 du dr dθ∭[(x^2+y^2+z^2)dv = 4π∫[0,2] (r^3/3 + r^5/5) dr∭[(x^2+y^2+z^2)dv = (32π/15)