Question

长为2l的均质棒,绕中点转动的转动惯量为什么是1/3

Answer 1

问：长为2l的均质棒,绕中点转动的转动惯量为什么是1/3

答：亲！为您整理好了：以下是对为什么是1/3的解释：对于一个长为L的均质棒绕其中点转动的转动惯量为1/12 ML²。 这个结果是根据质量分布对转动惯量的贡献进行积分计算得出的。如果我们将均质棒分割成无数个微小的质元，每个质元的质量为dm，距离中点的距离为r，则转动惯量的微元dI可以表达为 dI = r² dm。根据均质棒的性质，质量与长度的比值为 m/L = ρ（均匀线密度）。因此dm可以表示为 dm = ρ dx，其中dx为无穷小长度元。由于均质棒的长度为L，我们可以表达 r 与 x的关系为 r = L/2 - x。将dm和r带入到转动惯量的微元表达式中，可以得到 dI = ρx²dx。为了求整个棒的转动惯量I，需要对整个棒的长度进行积分运算，即 I = ∫dI。将dI的表达式代入积分式中，可以得到 I = ∫(ρx²dx)，积分区间为从 -L/2 到 L/2。经过计算，可以得到 I = 1/12 mL²。因此，对于长为L的均质棒绕其中点转动，转动惯量为1/12 ML²。

问：那长为2l的棒呢

答：这个结果可以通过以下方法进行推导：方法一：利用积分计算。假设均质棒的质量分布在长度上是均匀的，且均匀线密度为λ（等于总质量M除以总长度2L）。将棒分割为很小的长度段dx，该段的质量为dm = λdx。对于每个长度段dx，其质量元素的转动惯量为dm * (x - L)^2，其中(x - L)表示质量元素距离中心的距离。然后对整个棒进行积分，即对所有长度段的转动惯量进行累加求和。最后得到的结果为1/3 * ML^2。方法二：使用平行轴定理。根据平行轴定理，如果已知物体绕过质心转动的转动惯量I_cm，那么物体绕离质心距离d的轴转动的转动惯量I_p可以表示为I_p = I_cm + Md^2。对于棒绕着其中心转动的情况，可以取中心为质心，因此均匀棒绕中心转动的转动惯量I_cm为1/3 * ML^2。代入平行轴定理的公式得到I_p = 1/3 * ML^2 + M(0)^2 = 1/3 * ML^2。综上所述，长度为2L的均质棒绕中心转动的转动惯量为1/3 * ML^2