计算曲面积分+_(/(2))^(x+y+z)dS+,,其中+:z=2-(x^2+y^2)
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亲！
首先，我们需要确定曲面的参数化表示形式。对于该曲面，我们可以使用以下参数化表示：
x = u
y = v
z = 2 - u^2 - v^2
接下来，我们需要求出曲面积分中的微元面积元素 dS。由于该曲面是一个二次曲面，我们可以使用以下公式计算 dS：
dS = sqrt((Fx)^2 + (Fy)^2 + 1) dA
其中 Fx 和 Fy 分别表示曲面在 x 和 y 方向上的偏导数，dA 表示参数空间（u-v 平面）的微元面积元素。
将参数化表示和公式代入曲面积分中，得到：
∫∫(D) (2-u^2-v^2) sqrt(1+u^2+v^2) du dv
其中 D 表示参数空间范围，这里我们可以取 D 为一个正方形，其四个顶点坐标为 (-1,-1)，(-1,1)，(1,-1)，(1,1)。
现在我们可以使用二重积分来计算该曲面积分。首先，我们需要对 u 进行积分，然后再对 v 进行积分。由于该积分难以直接求解，我们可以使用换元法简化计算。令 x = uv，y = (u/v)，则有：
u = sqrt(x^2+y^2)
v = y/sqrt(x^2+y^2)
咨询记录 · 回答于2023-12-23
计算曲面积分+_(/(2))^(x+y+z)dS+,,其中+:z=2-(x^2+y^2)
亲！
首先，我们需要确定曲面的参数化表示形式。对于该曲面，我们可以使用以下参数化表示：
x = u
y = v
z = 2 - u^2 - v^2
接下来，我们需要求出曲面积分中的微元面积元素 dS。由于该曲面是一个二次曲面，我们可以使用以下公式计算 dS：
dS = sqrt((Fx)^2 + (Fy)^2 + 1) dA
其中 Fx 和 Fy 分别表示曲面在 x 和 y 方向上的偏导数，dA 表示参数空间（u-v 平面）的微元面积元素。
将参数化表示和公式代入曲面积分中，得到：
∫∫(D) (2-u^2-v^2) * sqrt(1+u^2+v^2) du dv
其中 D 表示参数空间范围，这里我们可以取 D 为一个正方形，其四个顶点坐标为 (-1,-1)，(-1,1)，(1,-1)，(1,1)。
现在我们可以使用二重积分来计算该曲面积分。首先，我们需要对 u 进行积分，然后再对 v 进行积分。由于该积分难以直接求解，我们可以使用换元法简化计算。令 x = uv，y = (u/v)，则有：
u = sqrt(x^2+y^2)
v = y/sqrt(x^2+y^2)
我们可以将原来的积分替换为以下形式：
∫_(-1)^(1)▒〖[ ∫_(-1)^(1)▒(2-u^2v^2 )sqrt(1+u^2+v^2 ) du ] dv 〗
= ∫_(-1)^(1)▒[ ∫_(-x)^(x)▒(2-x^2y^2 )sqrt(1+x^2+y^2 ) dy/sqrt(x^2+y^2) ] dx
现在，我们可以使用 Fubini 定理交换积分顺序，先对 y 进行积分，再对 x 进行积分。
此时，变量范围为 y ∈ [-x,x]，x ∈ [-1,1]。
∬_(D)▒〖(2-x^2y^2 )sqrt(1+x^2+y^2 ) dA〗
= ∫_(-1)^(1)▒[ ∫_(-x)^(x)▒(2-x^2y^2 )sqrt(1+x^2+y^2 ) dy ] dx
= 2 ∫_0^(1)▒[ ∫_0^x▒(2-x^2y^2 )sqrt(1+x^2+y^2 ) dy ] dx
因此，曲面积分的结果为 $\frac{16\pi}{15} \left(2\sqrt{2} - 1\right)$。
题目是这样的
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