Question

判断三个向量组是否线性相关

Answer 1

三个向量组是否线性相关，可以通过求出它们的行列式来判断。如果三个向量的行列式不为零，则三个向量组线性无关；否则它们线性相关。
然而，在实际应用中，我们需要更深入地了解向量组的线性相关性。在线性代数中，一个向量组的线性相关意味着存在非零系数使得这些向量的线性组合为零向量，即它们可以表示成一个线性方程组。
而一个向量组的线性无关，则表示任意一个向量都不能由其他向量的线性组合表示，且每一个向量都是该向量组的基。因此，判断向量组的线性相关性，只需要求出向量组的秩即可。
求向量组的秩可以通过高斯消元法来实现，即将向量组排成矩阵后进行初等变换，求出矩阵的行最简形式即可。矩阵的行最简形式就是一个梯形矩阵，可以通过逐行交换，逐行消元来实现。最终矩阵的行数就是这个向量组的秩。
因此，在深入理解线性代数中的向量组相关性时，仅仅求出三个向量组的行列式是否为零是不够的，需要利用高斯消元法来求出向量组的秩进行判断。
另外，在实际应用中，需要注意向量组的维度。当向量组的维度小于向量的个数时，即存在冗余的向量，这些冗余的向量可以通过线性组合表示出来，所以这个向量组是线性相关的。
进一步的，如果一个向量组的维度大于向量的个数，即存在缺失的向量，这个向量组则无法描述向量空间中所有的向量，因此是线性无关的。
因此，在实际应用中，需要清楚向量组的维度和向量的个数，并通过高斯消元法来求出向量组的秩，从而判断向量组的线性相关性。