Question

微分方程的特征根

Answer 1

问：微分方程的特征根

答：微分方程的特征根是求解线性齐次常系数微分方程的一种方法。对于形如 �(�)+��−1�(�−1)+⋯+�1�′+�0�=0y (n) +a n−1​ y (n−1) +⋯+a 1​ y ′ +a 0​ y=0 的�n 阶微分方程，其中 �0,�1,⋯ ,��−1a 0​ ,a 1​ ,⋯,a n−1​ 均为常数，可以使用特征根来求解该微分方程的通解。设该微分方程的通解为 �(�)=����y(x)=Ce rx ，其中 �C 为任意常数，�r 为待求的特征根，则将通解代入微分方程中可得：(��+��−1��−1+⋯+�1�+�0)�(�)=0(D n +a n−1​ D n−1 +⋯+a 1​ D+a 0​ )y(x)=0[(��+��−1��−1+⋯+�1�+�0)����

答：微分方程的特征根是求解线性齐次常系数微分方程的一种方法。对于形如 �(�)+��−1�(�−1)+⋯+�1�′+�0�=0y(n)+an−1​y(n−1)+⋯+a1​y′+a0​y=0 的�n 阶微分方程，其中 �0,�1,⋯ ,��−1a0​,a1​,⋯,an−1​ 均为常数，可以使用特征根来求解该微分方程的通解。设该微分方程的通解为 �(�)=����y(x)=Cerx，其中 �C 为任意常数，�r 为待求的特征根，则将通解代入微分方程中可得：(��+��−1��−1+⋯+�1�+�0)�(�)=0(Dn+an−1​Dn−1+⋯+a1​D+a0​)y(x)=0[(��+��−1��−1+⋯+�1�+�0)����]=0[(rn+an−1​rn−1+⋯+a1​r+a0​)Cerx]=0显然当 �r 是满足$ r^n+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots+a_1r+a_0=0$ 的根时，�(�)=����y(x)=Cerx 就是微分方程的一个解。因此我们称方程 ��+��−1��−1+⋯+�1�+�0=0rn+an−1​rn−1+⋯+a1​r+a0​=0 的根为微