Question

已知点P是圆O:x2+y²=1上的任意一点，A，B是圆C:(x-4)²+(y-3)² =4 上任意两点,当角APB 最大时，则△PAB的外接圆半径为_

Answer 1

问：已知点P是圆O:x2+y²=1上的任意一点，A，B是圆C:(x-4)²+(y-3)² =4 上任意两点,当角APB 最大时，则△PAB的外接圆半径为_

答：亲，已知点P是圆O:x2+y²=1上的任意一点，A，B是圆C:(x-4)²+(y-3)² =4 上任意两点,当角APB 最大时，则△PAB的外接圆半径为算法如下：

答：解题思路1. 因为△PAB的外接圆过点A，B，P三个点，所以可以通过求出点A，B，P的距离，进而求出外接圆半径。2. 首先，求出圆O和圆C的交点，设交点为D，则D的坐标为（2，±√3）。

答：3. 求出AP、BP的斜率，分别为k1、k2， k1、k2的取值范围为[-∞,+∞]， 但是由于AB垂直于PD，所以k1k2=-1。 4. 根据k1，k2和点P的坐标可以求出AP、BP的方程， 进而求出AP、BP的长度。 5. 根据AP、BP、AB的长度可以利用海伦公式求出△PAB的面积， 进而求出其外接圆半径。

答：先求出圆O和圆C的交点D坐标： x = 2 y = ±√3 计算k1、k2： k1 = (y-3)/(x-4) k2 = (y-3)/(x-4)-1 先求AP、BP的方程： AP: y - k1x + k1 - 1 = 0 BP: y - k2x + k2 + 4 = 0 再求AP、BP的长度： AP = |k1-1|/√(k1^2+1) BP = |k2+4|/√(k2^2+1) AB的长度： AB = 2√2 利用海伦公式求△PAB的面积： S = √(s(s-AP)(s-BP)(s-AB))，其中s=(AP+BP+AB)/2 因此，当角APB最大时，△PAB的外接圆半径为√2/3

问：圆O和圆C没有交点的吧？

问：AB垂直于PD？

答：亲，你可以尝试换一种思路来解决问题。 设角APB为θ，那么角AOB的度数就是2θ。 接下来，我们找出△PAB的外接圆圆心O。根据三角函数的性质，O的坐标为(2cosθ, 2sinθ)。 然后，我们计算OP的长度，它是2sinθ。 已知AB的长度是4，我们使用正弦定理来求解θ/2的正弦值。正弦定理告诉我们sin(θ/2)=1/2，所以sinθ=2sin(θ/2)cos(θ/2)=√2/2。 由此，我们可以得出OP的长度是√2。这意味着△OPA和△OPB都是等腰三角形。 最后，我们使用余弦定理来求解∠AOP和∠BOP的角度。根据余弦定理，我们可以得出∠AOP=∠BOP=(180-θ)/2。

答：cos((180-θ)/2) = (1+OP^2-AP^2)/2 OP = 1/√2 则 AP^2 = 1+OP^2-2OPcos((180-θ)/2) = 3-√2cos(θ/2) 同理 BP^2 = 3-√2cos(θ/2) 则 AB^2 = 8 = AP^2 + BP^2 - 2APBPcos(∠APB) 代入 AP^2 = BP^2 得 cos(∠APB) = 1/2 则 ∠APB = π/3 故圆O的半径为 R = OP/sin(π/3) = √2/3

答：所以，答案为√2/3