求：1²+2²+3²……+(n-1)²=?
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二次等差数列的求和公式是三次多项式，且常数项为0（你就先别问为什么了，以后逐渐就了解了，自己先根据一次等差求和类比一下）
设
Sn=an³+bn²+cn
S(n-1)=a(n-1)³+b(n-1)²+c(n-1)
已知
an=(n-1)²
利用
Sn-Sn-1 =an
a[n³-(n-1)³]+b[n²-(n-1)²]+c=n²-2n+1
a(3n²-3n+1)+b(2n-1)+c=n²-2n+1
3an²+(2b-3a)n +a-b+c= n²-2n+1
每个同类项的系数左右相等
所以3a=1
2b-3a=-2
a-b+c=1
a=1/3
b=-1/2
c=1/6
Sn=n³/3-n²/2+n/6
这个式子是 0²+1²+...an²=Sn
所以
咨询记录 · 回答于2021-10-23
求：1²+2²+3²……+(n-1)²=?
二次等差数列的求和公式是三次多项式，且常数项为0（你就先别问为什么了，以后逐渐就了解了，自己先根据一次等差求和类比一下）设Sn=an³+bn²+cnS(n-1)=a(n-1)³+b(n-1)²+c(n-1)已知an=(n-1)²利用Sn-Sn-1 =ana[n³-(n-1)³]+b[n²-(n-1)²]+c=n²-2n+1a(3n²-3n+1)+b(2n-1)+c=n²-2n+13an²+(2b-3a)n +a-b+c= n²-2n+1每个同类项的系数左右相等所以3a=12b-3a=-2a-b+c=1a=1/3b=-1/2c=1/6Sn=n³/3-n²/2+n/6这个式子是 0²+1²+...an²=Sn所以
结果为Sn为n³/3-n²/2+n/6分解因式=(1/6)n(2n²-3n+1）=n(2n-1)(n-1)/6
综上所述：原式=n(n-1)(2n-1)/6
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