Question

设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a和b，在(0,1)内必存在不相等的x₁,x₂,使a/f'(x₁)+b/f(x₂)=a+b

Answer 1

问：设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1,试证明对任意给定的正数a和b，在(0,1)内必存在不相等的x₁,x₂,使a/f'(x₁)+b/f(x₂)=a+b

答：由介值定理, 存在c∈(0,1), 使f(c) = a/(a+b).由Lagrange中值定理, 存在ζ∈(0,c), 使f'(ζ) = (f(c)-f(0))/(c-0), 即有(a+b)c = a/f'(ζ).又存在η∈(c,1), 使f'(η) = (f(1)-f(c))/(1-c), 即有(a+b)(1-c) = b/f'(η).于是ζ < η满足a/f'(ζ)+b/f'(η) = a+b.