设平面图形d由曲线y=x的平方,直线x=1和y=0围成,求d的面积s
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# 设平面图形d由曲线y=x的平方，直线x=1和y=0围成，求d的面积s
解：
1. y=x^2 令 f(x) = x^3/3
f'(x) = y = x^2 ，即 f(x) 的导数为 y=x^2
s = y|0_1 = f(1) - f(0) = 1/3
2. 令 dx = 1/n，n 趋向于无穷大，把 s 化成每一个小矩形的面积来求，即 s = dx * y1 + dx * y2 + ... dx * yn
s = dx * (dx * dx) + dx * (2dx * 2dx) + dx * (3dx * 3dx + ... + dx * (ndx * ndx)
s = dx * (1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + n*n)
dx * dx = 1/n * 1/n * 1/n * (1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + n*n)
=(1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + n*n) / (n * n * n)
(1 + 2*2 + 3*3 + 4*4 + ... + n*n) = n * (n+1) * (2n+1) / 6
s = n * (n+1) * (2n+1) / 6 / (n * n * n)
= (1+1/n) * (2+1/n) / 6
n 趋向于无穷大时，1/n = 0
所以 s = 1*2/6 = 1/3
咨询记录 · 回答于2024-01-12
设平面图形d由曲线y=x的平方,直线x=1和y=0围成,求d的面积s
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设平面图形d由曲线y=x的平方，直线x=1和y=0围成，求d的面积s。
解：
1. y=x*x
令f(x)=x*x*x/3
f'(x)=y=x*x , 即f(x)的导数为y=x*x,
s=y|0_1=f(1)-f(0)=1/3
2. 令dx=1/n,n趋向于无穷大，把s化成每一个小矩形的面积来求，即
s=dx*y1+dx*y2+...dx*yn
=dx*(dx*dx)+dx*(2dx*2dx)+dx*(3dx*3dx+...+dx*(ndx*ndx)
=dx*(1+2*2+3*3+4*4+...+n*n)
dx*dx=1/n*1/n*1/n*(1+2*2+3*3+4*4+...+n*n)
=(1+2*2+3*3+4*4+...+n*n)/(n*n*n)
(1+2*2+3*3+4*4+...+n*n)=n*(n+1)*(2n+1)/6
s=n*(n+1)*(2n+1)/6/(n*n*n)
=(1+1/n)*(2+1/n)/6
当n趋向于无穷大时，1/n=0
所以s=1*2/6=1/3
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