Question

21.设 X~N(0,1) ,Y=cosX. 求Y的密度函数.

Answer 1

问：21.设 X~N(0,1) ,Y=cosX. 求Y的密度函数.

答：晚上好，亲爱的朋友！ Y的密度函数为： f(y) = 1/π√(1-y^2) 由于X~N(0,1)，即X服从标准正态分布，其概率密度函数为： $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}$$ 由于Y=cosX，则Y的概率密度函数为： $$f_Y(y) = f_X(x)\left|\frac{dx}{dy}\right|$$ 由于$\frac{dx}{dy}=-\frac{1}{sinX}$，则 $$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{cos^{-1}y^2}{2}}\frac{1}{|sin(cos^{-1}y)|}$$ $$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac{1}{|sin(cos^{-1}y)|}e^{-\frac{cos^{-1}y^2}{2}}$$ 所以Y的密度函数为： f(y) = 1/π√(1-y^2)