Question

已知f(x)=x-lnx,当f(x)=m有两个不相等根ⅪX2,求证xl十X2>m+Ⅰ

Answer 1

问：已知f(x)=x-lnx,当f(x)=m有两个不相等根ⅪX2,求证xl十X2>m+Ⅰ

答：您好，很荣幸为您解答。 已知f(x)=x-lnx，当f(x)=m有两个不相等根ⅪX2，求证xl十X2>m+Ⅰ。 由题意可得，函数f(x) = x - ln(x) 在 f(x) = m 处有两个不相等的根 x1 和 x2。设 x1 x2，则有： f(x1) = x1 - ln(x1) = mf(x2) = x2 - ln(x2) = m 将上式相减，得到：x2 - x1 = ln(x2) - ln(x1) 由于 x2 > x1，所以 ln(x2) > ln(x1)，因此有：x2 - x1 > 0 进一步地，我们可以对 f(x) 进行求导，得到：f'(x) = 1 - 1/x 当 x > 1 时，f'(x) > 0；当 0 < x < 1 时，f'(x) < 0。因此，函数 f(x) 在 (0,1) 和 (1,+∞) 上分别是单调递减和单调递增的。 由于 f(x1) = f(x2) = m，因此必然存在一个点 x0，使得 0 < x1 < x0 < 1 x2。此时，有： f(x1) > f(x0)f(x2) > f(x0) 即：x1 - ln(x1) > x0 - ln(x0)x2 - ln(x2) > x0 - ln(x0) 将上式相加，得到：x2 + x1 - 2x0 > ln(x2) + ln(x1) - 2ln(x0) 由于 x2 - x1 > ln(x2) - ln(x1)，因此有：x2 + x1 - 2x0 > 0 进一步地，我们可以将 f(x0) 的表达式代入上式，得到：x2 + x1 - 2f(x0) > 0 即：x2 + x1 > 2f(x0)因此，有：(x2 + x1)/2 > f(x0) 而由于 0 < x1 < x0 < 1 x2，因此有：x2 > 1, x1 1因此，(x2 + x1)/2 > 1/2 + ln(1/2) = m + 1/2 综上所述，有：(x2 + x1)/2 > m + 1/2即：x1 * x2 > (m + 1/2) * 2因此，有：x1 * x2 > m + 1