积分区域为由x+y=2，x+y=-2，x-y=-2围成，积分函数x^2-y^2，则积分值为

1个回答

13378270308

专业答主服务有保障

关注

展开全部

摘要首先，我们可以画出积分区域的示意图，如下所示：``` |\ | \ | \ | \ | \ | \----|------\---- | \ | \ | \ | \ | \```该积分区域被直线$x+y=2$，$x+y=-2$和$x-y=-2$所围成。接下来，我们需要将积分函数$x^2-y^2$表示为极坐标形式。根据极坐标变换公式，有：$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$因此，$x^2-y^2=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta$接下来，我们需要确定极坐标下的积分区域。由于积分区域被直线$x+y=2$，$x+y=-2$和$x-y=-2$所围成，因此在极坐标下的积分区域为：$$-\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$$$$2\sec\theta\leq r\leq 2\csc\theta$$现在，我们可以使用极坐标下的二重积分公式计算积分值：$$\iint_D (x^2-y^2) dxdy=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}r^2\cos2\theta drd\theta$$接下来，我们对$r$进行积分，有：$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\int_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}r^2drd\theta=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\left[\frac{1}{3}r^3\right]_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}d\theta$$将$r$的上下限代入上式，得到：$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\left[\frac{8}{3}

咨询记录 · 回答于2023-04-07

积分区域为由x+y=2，x+y=-2，x-y=-2围成，积分函数x^2-y^2，则积分值为

能把过程写下拍照发给我吗

首先，我们可以画出积分区域的示意图，如下所示：``` |\ | \ | \ | \ | \ | \----|------\---- | \ | \ | \ | \ | \```该积分区域被直线$x+y=2$，$x+y=-2$和$x-y=-2$所围成。接下来，我们需要将积分函数$x^2-y^2$表示为极坐标形式。根据极坐标变换公式，有：$x=r\cos\theta$$y=r\sin\theta$因此，$x^2-y^2=r^2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)=r^2\cos2\theta$接下来，我们需要确定极坐标下的积分区域。由于积分区域被直线$x+y=2$，$x+y=-2$和$x-y=-2$所围成，因此在极坐标下的积分区域为：$$-\frac{\pi}{4}\leq\theta\leq\frac{\pi}{4}$$$$2\sec\theta\leq r\leq 2\csc\theta$$现在，我们可以使用极坐标下的二重积分公式计算积分值：$$\iint_D (x^2-y^2) dxdy=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\int_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}r^2\cos2\theta drd\theta$$接下来，我们对$r$进行积分，有：$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\int_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}r^2drd\theta=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\left[\frac{1}{3}r^3\right]_{2\sec\theta}^{2\csc\theta}d\theta$$将$r$的上下限代入上式，得到：$$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos2\theta\left[\frac{8}{3}

发图片给您，请查收！

这是原题，刚才发的少了一个条件

已赞过

评论收起