Question

求函数z=x+y在x^2+y^2=1的条件下的极值

Answer 1

问：求函数z=x+y在x^2+y^2=1的条件下的极值

答：利用拉格朗日乘数法，设拉格朗日乘数为λ，则构造Lagrange函数为：L(x, y, λ) = x + y + λ(x^2 + y^2 - 1)求解Lagrange函数的偏导数：∂L/∂x = 1 + 2λx = 0∂L/∂y = 1 + 2λy = 0∂L/∂λ = x^2 + y^2 - 1 = 0解得x = -y，代入第三个式子得到x = -y = ±1/√2，代入原函数得到z = ±√2/2。所以函数z=x+y在x^2+y^2=1的条件下的最大值为√2/2，最小值为-√2/2。