Question

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cosC＝11/16，sinB＝2sinA ，(1)求a (2)求三角形ABC的内切圆的面积

Answer 1

问：在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知c＝3，cosC＝11/16，sinB＝2sinA ，(1)求a (2)求三角形ABC的内切圆的面积

答：您好亲亲，很高兴为你解答：1)求a (2)求三角形ABC的内切圆的面积(1) 由余弦定理可得：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$代入已知数据，得：$a^2 = b^2 + 9 - 6b\cos A$由正弦定理可得：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$又因为$\sin B = 2\sin A$，所以：$\frac{a}{\sin A} = 2\frac{b}{\sin A}$即 $a = 2b$代入上式得：$\frac{2b}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$化简得：$2\sin B = \sin A$又因为$\sin^2A + \cos^2A = 1$，所以：$\cos A = \pm \sqrt{1 - \sin^2A} = \pm \sqrt{1 - 4\sin^2B}$代入已知数据，得：$\cos A = \pm\frac{\sqrt{3}}{4}$因为$\cos A > 0$，所以：$\cos A = \frac{\sqrt{3}}{4}$代入余弦定理，得：$a^2 = b^2 + 9 - 6b\cdot\frac{\sqrt{3}}{4}$即：$a^2 - b^2 = 9 - \frac{3}{2}b\sqrt{3}$又因为$a = 2b$，所以：$3b^2 = 9 - \frac{3}{2}b\sqrt{3}$$b^2 + \frac{1}{2}b\sqrt{3} - 3 = 0$解得：$b = \frac{-\frac{1}{2}\sqrt{3} \pm \frac{\sqrt{69}}{2}}{2}$因为$b > 0$，所以：$b = \frac{\sqrt{69} - \sqrt{3}}{4}$代入$a=2b$，得：$a = \frac{\sqrt{69} + \sqrt{3}}{2}$因此，$\boxed{a = \frac{\sqrt{69} + \sqrt{3}}{2}}$。

答：(2) 设三角形ABC的半周长为$p$，则有：$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{69}}{2}$设内切圆的半径为$r$，则有：$A_{\triangle ABC} = rp$又因为三角函数的定义：$\sin C = \frac{2S_{\triangle ABC}}{ab} = \frac{2A_{\triangle ABC}}{ac}$代入已知数据，得：$\sin C = \frac{2rp}{a\cdot3} = \frac{2rp}{3a}$$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2C} = \frac{\sqrt{15}}{16}$代入得到的$a$的值，得：$r = \frac{(a+b+c)\sin C}{2} = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{69}}{16\sqrt{15}}$因此，$\boxed{A_{\text{内切圆}} = \pi r^2 = \frac{3+\sqrt{3}+\sqrt{69}}{240}}$。

答：拓展：内切圆是指由三角形三条边长所确定的圆,它可以帮助我们计算三角形面积。令内切圆的半径为r,根据内接圆半径求三角形面积的公式为:S=1/2r(r-a)(r-b)(r-c),是最普遍的一种情况,已知 △ABC 的周长为 C ,内切圆半径是 r ,求面积,不难得出 S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}Cr 。这种情况对于任意三角形成立,也不是我们讨论的重点。