Question

求全微分方程2xydx+(x2-1/y2)dy=0的通积分

Answer 1

问：求全微分方程2xydx+(x2-1/y2)dy=0的通积分

答：好的，针对您的问题，我来为您解答。 首先，我们需要判断该方程是否为全微分方程。对于一个二元函数u(x,y)，如果它的偏导数满足以下条件： ∂u/∂x = M(x,y) ∂u/∂y = N(x,y) 那么，该方程就是全微分方程。我们可以对原方程进行求导，得到： ∂(2xy)/∂y = 2x ∂(x^2-1/y^2)/∂x = 2x 可以看出，该方程是全微分方程。因此，我们可以通过求解u(x,y)来得到通积分。 对于第一个偏导数，我们可以得到： u(x,y) = ∫2xydx = x^2y + C1(y) 其中，C1(y)是关于y的常数函数。 接下来，我们对u(x,y)进行对y的偏导数，得到： ∂u/∂y = x^2 + C1'(y) 而根据原方程的第二个偏导数，我们可以得到： ∂u/∂y = ∫(x^2-1/y^2)dy = x^2y + y^-1 + C2(x) 其中，C2(x)是关于x的常数函数。将上式中的x^2y代入到上面的式子中，我们可以得到： C1'(y) = y^-1 + C2(x) 对于C1'(y)和C2(x)，它们都是常数函数，因此我们可以将它们合并成一个常数C。最终，我们可以得到该方程的通积分： x^2y + ln|y| = C + 1/2(x^2-1/y^2) 其中，C是任意常数。 希望我的回答能够帮助到您，如果您还有其他问题，欢迎继续向我提问。