Question

若a1,a2..是两两正交的向量组,则该向量组的秩是s

Answer 1

问：若a1,a2..是两两正交的向量组,则该向量组的秩是s

答：你好。 若a1, a2..是两两正交的向量组，则该向量组的秩是s。对于由两两正交的向量组成的向量组{a1, a2, ..., an}，其秩r满足： 1. r = 2。由于向量两两正交，所以任选两个向量都线性无关，说明这两个向量可以Span出一个二维的子空间。因此，秩至少为2。 2. 当且仅当这个向量组可以Span整个n维向量空间时，r=n。如果向量组可以Span出整个n维向量空间，那么这n个向量两两线性无关，秩为n。反之，如果秩小于n，则说明这些向量无法Span出整个n维向量空间。 综上，对于两两正交的向量组{a1, a2, ..., an}，其秩r满足：2 <= r <= n。当且仅当这个向量组可以Span出整个n维向量空间时，r=n。所以，如果题目条件中给出的是“两两正交的向量组{a1, a2, ..., s}”，则其秩r = s。因为两两正交的s个向量必然能够Span出s维向量空间，所以其秩为s。 举例说明：设a1 = (1,0,0)， a2 = (0,1,0)， a3 = (0,0,1)。则{a1, a2, a3}是三维空间中的三个两两正交的向量。这三个向量可以Span出整个三维向量空间，所以其秩r = 3。