Question

函数=xyz在附加条件x+y+z=α(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值等于

Answer 1

问：函数=xyz在附加条件x+y+z=α(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值等于

答：您好，很高兴为您解答，对于函数 f(x,y,z)=xyz在条件 g(x,y,z)=x+y+z-\alpha=0下，它的极值点必须满足下面的方程组：\left\{ \begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x} = yz = \lambda \frac{\partial g}{\partial x} = \lambda \\ &\frac{\partial f}{\partial y} = xz = \lambda \frac{\partial g}{\partial y} = \lambda \\ &\frac{\partial f}{\partial z} = xy = \lambda \frac{\partial g}{\partial z} = \lambda \\ &g(x,y,z) = x+y+z-\alpha = 0 \end{aligned} \right.从第一、二、三个方程可以得出 yz=xz=xy，即 x=y=z。代入第四个方程可以得出 \alpha=3x，因此 $x=y=z=\frac{\alpha}{3}，此时函数 f(x,y,z) 的取值为：f\left(\frac{\alpha}{3}, \frac{\alpha}{3}, \frac{\alpha}{3}\right)= \left(\frac{\alpha}{3}\right)^3 = \frac{\alpha^3}{27}。在附加条件 x+y+z=\alpha下，函数 f(x,y,z)=xyz的极值为 \frac{\alpha^3}{27}。以上是函数=xyz在附加条件x+y+z=α(x>0,y>0,z>0,a>0)下的极值的解答哦。