4.设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,试证:A正定.
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亲亲
您好，很高兴为您解答
设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,证明A正定的步骤是因为 A 是实对称矩阵，因此它可以对角化为对角矩阵 D，即存在正交矩阵 Q，使得 Q^T AQ = D。由于 A^3 + 3A - 2E = 0，两边同时左乘 A^-1，得到 A^2 + 3A^-1 - 2A^-1 = 0，即 A^2 = 2A^-1 - 3I。将 A^2 代入 Q^T AQ = D 中，得到 Q^T (2A^-1 - 3I)QD = D，即 Q^T A^-1 QD = (2/3)D + I。由于 Q 是正交矩阵，因此 Q^T Q = I，即 Q^T QD = D，因此 Q^T A^-1 Q = (2/3)I + D^-1哦。
您好，很高兴为您解答设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,证明A正定的步骤是因为 A 是实对称矩阵，因此它可以对角化为对角矩阵 D，即存在正交矩阵 Q，使得 Q^T AQ = D。由于 A^3 + 3A - 2E = 0，两边同时左乘 A^-1，得到 A^2 + 3A^-1 - 2A^-1 = 0，即 A^2 = 2A^-1 - 3I。将 A^2 代入 Q^T AQ = D 中，得到 Q^T (2A^-1 - 3I)QD = D，即 Q^T A^-1 QD = (2/3)D + I。由于 Q 是正交矩阵，因此 Q^T Q = I，即 Q^T QD = D，因此 Q^T A^-1 Q = (2/3)I + D^-1哦。
咨询记录 · 回答于2023-05-27
4.设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,试证:A正定.
亲亲您好，很高兴为您解答设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,证明A正定的步骤是因为 A 是实对称矩阵，因此它可以对角化为对角矩阵 D，即存在正交矩阵 Q，使得 Q^T AQ = D。由于 A^3 + 3A - 2E = 0，两边同时左乘 A^-1，得到 A^2 + 3A^-1 - 2A^-1 = 0，即 A^2 = 2A^-1 - 3I。将 A^2 代入 Q^T AQ = D 中，得到 Q^T (2A^-1 - 3I)QD = D，即 Q^T A^-1 QD = (2/3)D + I。由于 Q 是正交矩阵，因此 Q^T Q = I，即 Q^T QD = D，因此 Q^T A^-1 Q = (2/3)I + D^-1哦。
您好，很高兴为您解答设A是n阶实对称矩阵,且 A^3+3A-2E=0 ,证明A正定的步骤是因为 A 是实对称矩阵，因此它可以对角化为对角矩阵 D，即存在正交矩阵 Q，使得 Q^T AQ = D。由于 A^3 + 3A - 2E = 0，两边同时左乘 A^-1，得到 A^2 + 3A^-1 - 2A^-1 = 0，即 A^2 = 2A^-1 - 3I。将 A^2 代入 Q^T AQ = D 中，得到 Q^T (2A^-1 - 3I)QD = D，即 Q^T A^-1 QD = (2/3)D + I。由于 Q 是正交矩阵，因此 Q^T Q = I，即 Q^T QD = D，因此 Q^T A^-1 Q = (2/3)I + D^-1哦。
亲亲
拓展：对称矩阵是指在线性代数中，一个矩阵与其转置矩阵相等的方阵。一个n×n的矩阵A是对称矩阵，当且仅当a_ij = a_ji （1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ n）。即当矩阵A关于其主对角线对称时，称其为对称矩阵。对称矩阵具有许多重要的性质和应用哦。
拓展：对称矩阵是指在线性代数中，一个矩阵与其转置矩阵相等的方阵。一个n×n的矩阵A是对称矩阵，当且仅当a_ij = a_ji （1 ≤ i ≤ n，1 ≤ j ≤ n）。即当矩阵A关于其主对角线对称时，称其为对称矩阵。对称矩阵具有许多重要的性质和应用哦。
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