Question

已知a是实数域上的n阶方阵,证明:若aa'=a'a,则a为对角矩阵

Answer 1

问：已知a是实数域上的n阶方阵,证明:若aa'=a'a,则a为对角矩阵

答：亲，您好！证明:设 $a$ 的第 $i$ 列为 $[a_{1i},a_{2i},\cdots,a_{ni}]^T$，$a'$ 的第 $i$ 列为 $[a_{i1},a_{i2},\cdots,a_{in}]^T$。则 $aa'$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\sum_{k=1}^na_{ik}a_{kj}'=a_i\cdot a_j'$。同理，$a'a$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\sum_{k=1}^na_{ki}'a_{kj}=a_i'\cdot a_j$。因为 $aa'=a'a$，所以对于任意 $i,j(1\leq i,j\leq n)$，有 $a_i\cdot a_j'=a_i'\cdot a_j$，即 $(a_i-a_i')\cdot a_j=0$。如果存在 $(a_i-a_i')\neq 0$，则对于 $j$ 取 $j=i$，可得到 $(a_i-a_i')\cdot a_i=0$，即 $a_i^2-a_i\cdot a_i'=0$。因为 $a_i-a_i'\neq0$，所以 $a_i=a_i'$，即 $a$ 的第 $i$ 行也是对角线上的元素。因为 $i$ 的任意性，所以 $a$ 的对角线上的元素相等，即 $a$ 为对角矩阵。

答：亲，您好！证明：假设a是n阶方阵，则a的元素为aij，a'的元素为aij'，根据aa'=a'a的条件，有：∑aikakj'=∑aik'akj即：∑aik(akj'-akj)=0由于aik≠0，所以有：akj'-akj=0即：akj=akj'由此可知，a的元素aij=aij'，即a的元素为对角线上的元素，所以a为对角矩阵。

答：下面这个没有乱码