Question

二重积分，三重积分计算

Answer 1

问：二重积分，三重积分计算

答：**标题：** 二重积分与三重积分的计算公式和步骤 **内容：** 亲亲，您好。 二重积分和三重积分是微积分中的重要概念，用于计算平面区域或空间立体图形中某个量的总量。以下是二重积分和三重积分的计算公式和步骤。 **二重积分** 二重积分计算公式设 $f(x,y)$ 是定义在有限闭区域 $D$ 上的连续函数，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分为： $\iint_D f(x,y) \,dx\,dy \quad \text{"} D; f(x,y)dxdy$其中，$dx\,dy$ 表示对 $x$ 和 $y$ 的积分顺序没有要求，也可以表示为 $dy\,dx$。 计算步骤： 1. 确定积分区域 $D$； 2. 将积分区域 $D$ 分解为若干个简单区域； 3. 写出被积函数 $f(x,y)$； 4. 根据积分区域的类型选择适当的积分方法，如直角坐标系、极坐标系等； 5. 按照所选积分方法进行计算。 **三重积分** 三重积分计算公式设 $f(x,y,z)$ 是定义在有限闭区域 $D$ 上的连续函数，则 $f(x,y,z)$ 在 $D$ 上的三重积分为： $\iiint_D f(x,y,z) \,dx\,dy\,dz \quad \text{"} D; f(x,y,z)dxdydz$计算步骤： 1. 确定积分区域 $D$； 2. 将积分区域 $D$ 分解为若干个简单区域； 3. 写出被积函数 $f(x,y,z)$； 4. 根据积分区域的类型选择适当的积分方法，如直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等； 5. 按照所选积分方法进行计算。 需要注意的是，在进行二重积分和三重积分时，积分区域和被积函数的选择对计算结果有很大影响，需要根据具体情况进行判断。

答：计算I=∫j∫zdxdydz，其中Ω为球面x2+y²+z2=4与抛物面3z=x’+y所围成在抛物面内部分。计算球体x²+y²+z²≤1在锥面z=√x²+y²上方部分的体积。

答：计算第一个积分： 由于Ω为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面3z=x+y所围成在抛物面内部分，因此需要先求出两个曲面的交线。 将抛物面方程中的y用x表示可得：y=3z-x，代入球面方程得到：x^2 + (3z-x)^2 + z^2 = 4，化简得到：x^2 + 9z^2 - 6xz + z^2 = 4 移项并合并同类项得到：(x-3z)^2 + 5z^2 = 16，这是一个椭圆柱体，它与z轴交于z=±8/√89。 因此，j∫z dxdydz这一部分的积分区域为： z: 0~(x+3x)/4= xy: -√(4-x^2-y^2)~√(4-x^2-y^2) x: -2~2 因此，原式可化为： I=∫[-2,2]∫[-√(4-x^2),√(4-x^2)]∫[0,(x+3y)/4] zdxdydz 对 zdx进行积分得到： I = 1/20 ∫[-2,2]∫[-√(4-x^2),√(4-x^2)] (x^2 + 5y^2)dydx 对 y进行积分得到： I = 1/20 ∫[-2,2] (8x^3/3)dx = 0 因此，积分结果为0。 计算第二个积分： 球体x^2+y^2+z^2≤1在锥面z=√(x^2+y^2)上方部分的体积为： 由旋转对称性可得该部分体积为全体积的一半。 因此，需要计算球体在z=0到z=1之间的体积，并将结果除以2。 根据球体的方程x^2+y^2+z^2≤1，可以将该积分转化为三重积分： V = 1/2 ∭[x^2+y^2+z^2≤1, z≥0] dxdydz 在球坐标系下进行积分，有： V = 1/2 ∫[0,π/2]∫[0,2π]∫[0,1]ρ²sinθdρdθdφ 积分得到：V = 1/6 π 因此，锥面z=√(x^2+y^2)上方部分的球体体积为V/2 = 1/12 π。