Question

曲面积分xyzdxdy.其中是∑为闭合曲面x方+y方+z方=1的外侧

Answer 1

问：曲面积分xyzdxdy.其中是∑为闭合曲面x方+y方+z方=1的外侧

问：第四题怎么解？

答：亲亲，非常荣幸为您解答。根据题目中所给的曲面方程，可以确定这是一个球体的表面。其心点坐标为 (0, 0, 0)，半径为 1。由于题目中要求积分结果为外侧，我们需要确定法向量方向，使它指向曲面的外部。对于这个球体表面来说，法向量的方向应该指向球体的外部，也就是球体的半径向量相反的方向。法向量的方向应该为$\boldsymbol{n} = -\dfrac{x}{r} \boldsymbol{i} -\dfrac{y}{r} \boldsymbol{j} -\dfrac{z}{r} \boldsymbol{k}$，其中$\boldsymbol{i}$，$\boldsymbol{j}$ 和 $\boldsymbol{k}$ 分别表示 $x$，$y$ 和 $z$ 方向的单位向量，$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 表示到球心的距离。然后，我们需要计算曲面的面积元素 $\mathrm{dS}$。球面的面积元素可以表示为 $\mathrm{dS}=r^2 \sin \theta \mathrm{d} \phi \mathrm{d} \theta$.

答：其中 $\theta$ 表示与 $z$ 轴的夹角，$\phi$ 表示与 $x$ 轴正半轴的夹角。将上述已知数据带入曲面积分公式 $I = \iint_S f(x,y,z) , \mathrm{dS}$ 中，得到$$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (-r^3 \sin \theta \cos \phi \cdot \dfrac{x}{r} -r^3 \sin \theta \sin \phi \cdot \dfrac{y}{r} -r^3 \cos \theta \cdot \dfrac{z}{r})\mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi$$。$$=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (-x r^2 \sin \theta \cos \phi - y r^2 \sin \theta \sin \phi - z r^2 \cos \theta )\mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi$$最后，我们将曲面方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 代入

答：得到$$I = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (-x r^2 \sin \theta \cos \phi - y r^2 \sin \theta \sin \phi - z r^2 \cos \theta )\mathrm{d} \theta \mathrm{d}\phi$$。$$=\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\pi} (-x \sin \theta \cos \phi - y \sin \theta \sin \phi - z \cos \theta )\mathrm{d} \theta \mathrm{d} \phi$$由于积分范围是在整个球面内，因此可以将积分中广义坐标分别用 $\phi$ 和 $\theta$ 表示。最终积分的答案应该是 0。

答：亲亲您具体要问哪个问题呢

问：能否将球面改为曲面

问：一次提问只能解一题吗？

答：是的亲亲

答：亲亲，您现在咨询的这个服务呢由于平台限制只能解答6次，6次过后就需要购买，老师帮您申请两小时内无限问的，更划算，这边看您也问了这么久，帮您申请一个折扣，你直接升级服务就可以享受无限咨询哦。

问：能否将球面改为曲面

答：亲亲把完整的题目发给我看看呢