Question

识验证函数 y=e^(-3x)sin 2x满足方程: y^n+6y'+13y=0

Answer 1

问：识验证函数 y=e^(-3x)sin 2x满足方程: y^n+6y'+13y=0

答：亲亲,很高兴为您解答哦首先，对于给定的函数y=e^(-3x)sin2x，我们需要计算出y^n和y'的表达式。首先计算y^n：y^n=(e^(-3x)sin2x)^n然后计算y'：y'=(e^(-3x)sin2x)'=(-3e^(-3x)sin2x+2e^(-3x)cos2x)现在我们可以将y^n和y'的表达式代入方程y^n+6y'+13y=0:(e^(-3x)sin2x)^n+6(-3e^(-3x)sin2x+2e^(-3x)cos2x)+13(e^(-3x)sin2x)=0化简上述方程是很复杂的过程，并且可能没有明确的解。

答：亲亲相关拓展：根据已知的识验证函数y=e^(-3x)sin(2x)，我们可以计算y’和y’’：y’=(e^(-3x)sin(2x))’=-3e^(-3x)sin(2x)+e^(-3x)(sin(2x))’=-3e^(-3x)sin(2x)+e^(-3x)(2cos(2x))=-3e^(-3x)sin(2x)+2e^(-3x)cos(2x)y’’=(y’)’=(-3e^(-3x)sin(2x)+2e^(-3x)cos(2x))’=(-3e^(-3x)sin(2x))’+(2e^(-3x)cos(2x))’=-3e^(-3x)cos(2x)-2e^(-3x)sin(2x)-2e^(-3x)sin(2x)=-3e^(-3x)cos(2x)-4e^(-3x)sin(2x)将y,y’和y’’代入方程y^n+6y’+13y=0：(e(-3x)sin(2x))n+6(-3e^(-3x)cos(2x)-4e^(-3x)sin(2x))+13(e^(-3x)sin(2x))=0化简方程，得到：(e(-3x)sin(2x))n-18e^(-3x)cos(2x)-24e^(-3x)sin(2x)+13e^(-3x)sin(2x)=0(e(-3x)sin(2x))n-18e^(-3x)cos(2x)-11e^(-3x)sin(2x)=0

答：要求解积分 ∫x^3ln(x)dx，我们可以使用分部积分法。首先，选择 u = ln(x)，dv = x^3dx。然后，计算 du 和 v：du = (1/x)dxv = ∫x^3dx = (1/4)x^4根据分部积分公式 ∫u dv = uv - ∫v du，我们有：∫x^3ln(x)dx = uv - ∫v du= ln(x) * (1/4)x^4 - ∫(1/4)x^4 * (1/x)dx= (1/4)x^4ln(x) - (1/4)∫x^3dx= (1/4)x^4ln(x) - (1/4) * (1/4)x^4 + C= (1/4)x^4ln(x) - (1/16)x^4 + C因此，∫x^3ln(x)dx = (1/4)x^4ln(x) - (1/16)x^4 + C，其中 C 是常数。