Question

矩阵的秩和方程组的解的关系

Answer 1

问：矩阵的秩和方程组的解的关系

答：设矩阵A的秩 r(A) = r,A为 m*n 矩阵,则 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n -r(A) 个向量. 定理:矩阵的行秩,列秩,秩都相等。 定理:初等变换不改变矩阵的'秩。 定理:如果A可逆,则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。 定理:矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb}; 引理:设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n,则A的列秩,秩都等于n。 当r(A)<=n-2时,最高阶非零子式的阶数<=n-2,任何n-1阶子式均为零,而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号,所以伴随阵为0矩阵。 当r(A)<=n-1时,最高阶非零子式的阶数<=n-1,所以n-1阶子式有可能不为零,所以伴随阵有可能非零(等号成立时伴随阵必为非零)