Question

实对称矩阵的秩和特征值有什么关系

Answer 1

实对称矩阵的秩和特征值之间有如下关系：
设实对称矩阵A的秩为r，特征值为λ1，λ2，...，λn，则：
1.特征值的个数等于矩阵A的秩，即有r个不同的特征值。
2.对于每一个特征值λi，它对应的特征向量组成一个线性无关的向量组，可以用来表示A的秩r个线性无关列向量。
3.如果特征值为0的个数为k，那么矩阵A的秩r等于n-k。
这三条结论可以用实对称矩阵的谱定理定理说明。谱定理定理表明实对称矩阵可以正交对角化，即可以分解为QDQ^T的形式，其中Q是正交矩阵，D是对角矩阵，对角线上的元素就是特征值。
可以证明：在矩阵的对角线上，特征值个数等于秩，即r=n-k，因为特征值中0的个数k等于矩阵非零特征值的代数重数之和，由于特征值都是实数，所以对应于一个非零特征值λi的特征向量个数就是矩阵的秩比λi小1，所以n=r+k，即秩为r，特征值个数为n。
综上所述，实对称矩阵的秩和特征值之间有着密切的联系，掌握这些联系可以在矩阵的相关问题上提供便利。